Cho hai đường tròn $\left( O_{1} \right)$ và $\left( O_{2} \right)$ cắt nhau tại $A,\,\, B$. Các tiếp

Câu hỏi số 789241:

Vận dụng

Cho hai đường tròn $\left( O_{1} \right)$ và $\left( O_{2} \right)$ cắt nhau tại $A,\,\, B$. Các tiếp tuyến tại $A,\,\, B$ của đường tròn $\left( O_{1} \right)$ cắt nhau tại $K$. Lấy điểm $M$ trên đường tròn $\left( O_{1} \right)$ không trùng với $A,\,\, B$. Gọi $P$là giao điểm thứ hai của $MA$ với đường tròn $\left( O_{2} \right)$. Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của $MK$ với đường tròn $\left( O_{1} \right)$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CA$ với đường tròn $\left( O_{2} \right)$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ nằm trên đường thẳng $CM$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789241

Phương pháp giải

Gọi $H$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$. Chứng minh $PH = QH$

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát giả sử $M$ thuộc cung lớn $AB$

Gọi $H$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$

Dễ dàng chứng minh được $\left. \Delta BCK \backsim \Delta MBK\,\,\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{BC}{BM} = \dfrac{CK}{BK} \right.$

Tương tự $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{CK}{AK}$

Mà $KA = KB$ nên $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{BC}{BM}$

Tứ giác $AMBC$ nội tiếp $\left( O_{1} \right)$ nên $\left. \angle AMB = \angle BCQ\Rightarrow\angle PMB = \angle BCQ \right.$

Mặt khác tứ giác $AQBP$ nội tiếp $\left( O_{2} \right)$ nên $\left. \angle BPM = \angle AQB\Rightarrow\angle BPM = \angle CQB \right.$

Do đó $\left. \Delta BMP \backsim \Delta BCQ\Rightarrow\dfrac{MP}{CQ} = \dfrac{BM}{BC} \right.$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $APQ$ ta được

$\begin{array}{l} \left. \dfrac{CA}{CQ}.\dfrac{HQ}{HP}.\dfrac{MP}{MA} = 1\Rightarrow\dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{AC}{AM}.\dfrac{MP}{CQ} = \dfrac{BC}{BM}.\dfrac{BM}{BC} = 1 \right. \\ \left. \Rightarrow HP = HQ \right. \end{array}$

Hay $H$ là trung điểm của $PQ$ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link