Cho hai đường tròn $\left( O_{1} \right)$ và $\left( O_{2} \right)$ cắt nhau tại $A,\,\, B$. Các tiếp
Cho hai đường tròn $\left( O_{1} \right)$ và $\left( O_{2} \right)$ cắt nhau tại $A,\,\, B$. Các tiếp tuyến tại $A,\,\, B$ của đường tròn $\left( O_{1} \right)$ cắt nhau tại $K$. Lấy điểm $M$ trên đường tròn $\left( O_{1} \right)$ không trùng với $A,\,\, B$. Gọi $P$là giao điểm thứ hai của $MA$ với đường tròn $\left( O_{2} \right)$. Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của $MK$ với đường tròn $\left( O_{1} \right)$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CA$ với đường tròn $\left( O_{2} \right)$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ nằm trên đường thẳng $CM$
Quảng cáo
Gọi $H$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$. Chứng minh $PH = QH$
Không mất tính tổng quát giả sử $M$ thuộc cung lớn $AB$
Gọi $H$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$
Dễ dàng chứng minh được $\left. \Delta BCK \backsim \Delta MBK\,\,\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{BC}{BM} = \dfrac{CK}{BK} \right.$
Tương tự $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{CK}{AK}$
Mà $KA = KB$ nên $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{BC}{BM}$
Tứ giác $AMBC$ nội tiếp $\left( O_{1} \right)$ nên $\left. \angle AMB = \angle BCQ\Rightarrow\angle PMB = \angle BCQ \right.$
Mặt khác tứ giác $AQBP$ nội tiếp $\left( O_{2} \right)$ nên $\left. \angle BPM = \angle AQB\Rightarrow\angle BPM = \angle CQB \right.$
Do đó $\left. \Delta BMP \backsim \Delta BCQ\Rightarrow\dfrac{MP}{CQ} = \dfrac{BM}{BC} \right.$
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $APQ$ ta được
$\begin{array}{l} \left. \dfrac{CA}{CQ}.\dfrac{HQ}{HP}.\dfrac{MP}{MA} = 1\Rightarrow\dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{AC}{AM}.\dfrac{MP}{CQ} = \dfrac{BC}{BM}.\dfrac{BM}{BC} = 1 \right. \\ \left. \Rightarrow HP = HQ \right. \end{array}$
Hay $H$ là trung điểm của $PQ$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
