Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cố định cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C.
Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cố định cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác OMAN nội tiếp được trong đường tròn;
b) Kẻ đường thẳng đi qua B và song song với MA cắt MN tại điểm E. Chứng minh $\widehat{EBI} = \widehat{ENI}$.
c) Khi thay đổi A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đường nào? Vì sao?
Quảng cáo
a) Xét các tam giác ΔOAM, ΔOAN vuông.
b) Chứng minh A, M, O, I, N ∈ đường tròn đường kính AO để có $\widehat{MAI} = \widehat{MNI}$ mà $\widehat{EBI} = \widehat{MAI}$(do $BE{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} /{\mkern 1mu} /AM$) nên $\widehat{EBI} = \widehat{ENI}$
c) Từ G kẻ đường thẳng song song với MO cắt IO tại K.
Áp dụng định lý Thales suy ra $IK = \dfrac{IO}{3}$, từ đó ta có $G \in \left( {K;\,\,\dfrac{R}{3}} \right)$ cố định.
a) $\widehat{AMO} = 90{^\circ};\,\,\,\widehat{ANO} = 90{^\circ}$ nên ΔOAM, ΔOAN vuông nội tiếp trong đường tròn đường kính AO Suy ra tứ giác AMON nội tiếp được đường tròn đường kính AO.
b) I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến của ΔOBC cân tại O
Suy ra OI ⊥ BC nên ΔAIO vuông tại I
Do đó I ∈ đường tròn đường kính AO và M, N ∈ đường tròn đường kính AO (ΔAOM vuông tại M, ΔAON vuông tại N)
Suy ra A, M, O, I, N ∈ đường tròn đường kính AO.
Vì $BE{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} /{\mkern 1mu} /AM$nên $\widehat{EBI} = \widehat{MAI}$
Lại có tứ giác AMIN nội tiếp nên $\widehat{MAI} = \widehat{MNI}$
Suy ra $\widehat{EBI} = \widehat{ENI}$
c) Lấy G∈MI sao cho $MG = \dfrac{2}{3}MI,$ MI là trung tuyến của ΔMBC vì I là trung điểm của BC.
Từ G kẻ đường thẳng song song với MO cắt IO tại K
Xét ΔMIO, có GK // OM
Suy ra $\dfrac{GK}{MO} = \dfrac{IG}{IM} = \dfrac{IK}{IO} = \dfrac{1}{3}$ hay $IK = \dfrac{IO}{3}$
Suy ra K cố định; $GK = \dfrac{MO}{3} = \dfrac{R}{3}$ không đổi
Vậy $G \in \left( {K;\,\,\dfrac{R}{3}} \right)$ cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
