Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$, nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, tia phân giác
Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$, nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$tại $D$ và cắt $(O)$ tại $M$$\left( {M \neq A} \right)$. Vẽ $DH$ vuông góc với $AB$ tại $H$$\left( {H \in AB} \right)$, $DK\bot AC$ tại $K\ \left( {K \in AC} \right)$. $ME\bot AC$ tại $E$ $\left( {E \in AC} \right)$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.
a) Chứng minh tứ giác $MNEC$ nội tiếp đường tròn và $\widehat{HKD} = \widehat{NEM}$.
b) Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $BC$ cắt $HK$ tại $I$. Chứng minh ba điểm $A,I,N$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\widehat{CNM} = 90{^\circ}$ và $\widehat{MEC} = 90{^\circ}$ suy ra $C,{\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} M,{\mkern 1mu} E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CM.$ Từ 2 tứ giác MNEC và AHDK nội tiếp đường tròn suy ra $\widehat{HKD} = \widehat{NEM}$
b) Chứng minh $\Delta DKI \backsim \Delta MEN$(g-g) suy ra $\dfrac{DK}{ME} = \dfrac{DI}{MN}$; Khẳng định được DK // ME suy ra $\dfrac{DK}{ME} = \dfrac{AD}{AM}$. Khi đó $\dfrac{DI}{MN} = \dfrac{AD}{AM}$ nên $\Delta IAD \backsim \Delta NAM$(c.g.c) từ đó suy ra A, I, N thẳng hàng.
a) Ta có: $\widehat{CBM} = \widehat{CAM}$ (góc nội tiếp chắn cung CM)
$\widehat{BCM} = \widehat{BAM}$ (góc nội tiếp chắn cung BM)
Mà $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (AM là phân giác của góc A) nên $\widehat{BCM} = \widehat{CBM}$
Suy ra $\Delta BMC$ cân tại $M$.
Vì N là trung điểm của BC nên MN là đường trung tuyến, cũng là đường cao của $\Delta BMC$
Suy ra $\widehat{CNM} = 90{^\circ}$
Suy ra các điểm $C,\, N,\, M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CM.$
Lại có $ME\bot AC$ tại $E$ nên $\widehat{MEC} = 90{^\circ}$
Suy ra các điểm $C,\, E,\, M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CM.$
Do đó tứ giác MNEC nội tiếp đường tròn
Suy ra được $\widehat{NEM} = \widehat{BCM}$
Mà $\widehat{BCM} = \widehat{BAM}$ suy ra được $\widehat{HAD} = \widehat{NEM}$ (1)
Vì $DH\bot AB$ tại H, $DK\bot AC$ tại K nên $\widehat{AHD} = 90{^\circ},\,\,\widehat{AKD} = 90{^\circ}$
Suy ra tứ giác AHDK nội tiếp đường tròn
Suy ra $\widehat{HKD} = \widehat{HAD}\,\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{HKD} = \widehat{NEM}$
b) Vì $ID\bot BC$ tại D nên $\widehat{IDK} + \widehat{KDC} = 90{^\circ}$
Vì $DK\bot AC$ tại K nên $\widehat{CKD} = 90{^\circ}$ hay $\widehat{KCD} + \widehat{KDC} = 90{^\circ}$
Suy ra $\widehat{IDK} = \widehat{KCD}$
Lại có $\widehat{KCD} = \widehat{NME}$ (vì tứ giác MNEC nội tiếp đường tròn)
Suy ra $\widehat{IDK} = \widehat{NME}$
Xét $\Delta DKI$ và $\Delta MEN$ có
$\widehat{IDK} = \widehat{NME}$ (cmt)
$\widehat{HKD} = \widehat{NEM}$(cmt)
Suy ra $\Delta DKI \backsim \Delta MEN$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{DK}{ME} = \dfrac{DI}{MN}$ (3)
Mặt khác DK // ME (vì cùng vuông góc với AC) suy ra $\dfrac{DK}{ME} = \dfrac{AD}{AM}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{DI}{MN} = \dfrac{AD}{AM}$
Ta có DI // MN (vì cùng vuông góc với BC) suy ra $\widehat{IDA} = \widehat{NMA}$
Xét $\Delta IAD$ và $\Delta NAM$ có:
$\dfrac{DI}{MN} = \dfrac{AD}{AM}$(cmt)
$\widehat{IDA} = \widehat{NMA}$ (cmt)
Suy ra$\Delta IAD \backsim \Delta NAM$ (c.g.c)
Do đó $\widehat{IAD} = \widehat{NAD}$ (hai góc tương ứng)
Vậy A, I, N thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
