Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao $\text{AK},\text{BE}$ và CF cắt nhau tại H.a) Chứng
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao $\text{AK},\text{BE}$ và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là trung điểm của đoạn $\text{AH},\text{N}$ là trung điểm của đoạn BC . Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH và $CI^{2} - IE^{2} = CK.CB$.
Quảng cáo
a) $\Delta\text{EBC}$ vuông tại E , $\Delta\text{FBC}$ vuông tại F nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh $\angle\text{A}_{1} = \angle\text{E}_{1};~\,\angle\text{NCE} = \angle\text{E}_{4}$ , rồi suy ra $\angle\text{E}_{1} + \angle\text{E}_{4} = 90^{0}$, từ có suy ra $\angle\text{IEN} = 90^{0}$ hay $\text{EN}\bot\text{EI}$ tại E.
Áp dụng định lí Pythagore cho $\text{ΔCIK}$ suy ra $\text{CI}^{2} = \text{CK}^{2} + \text{IK}^{2}$, kết hợp điều kiện $\text{IA} = \text{IE} = \text{IH}$ suy ra $\text{CI}^{2} - \text{IE}^{2} = \text{CK}^{2} + \text{AK}.\text{KH}$.
Lại có $\text{CK}.\text{CB} = \text{CK}^{2} + \text{CK}.\text{KB}$.
Chứng minh $\Delta\text{KBH} \backsim \Delta\text{KAC}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$ suy ra $\text{AK}.\text{KH} = \text{CK}.\text{KB}$, từ đó ta có điều phải chứng minh.
a) Ta có $\Delta\text{EBC}$ vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC (1)
$\Delta\text{FBC}$ vuông tại F nên nội tiếp đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Ta có bốn điểm $\text{A},\text{E},\text{H},\text{F}$ cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.
Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AH nên I là tâm đường tròn đường kính AH
Suy ra $\text{IA} = \text{IE}$ nên $\Delta\text{IAE}$ cân tại I ta có $\angle\text{A}_{1} = \angle\text{E}_{1}\ $ (3)
Ta có $\Delta\text{EBC}$ vuông tại E có EN là đường trung trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
nên $\text{EN} = \text{NC}\left( {= \dfrac{\text{BC}}{2}} \right)$, suy ra $\Delta\text{ENC}$ cân tại N nên $\angle\text{NCE} = \angle\text{E}_{4}$
Xét $\Delta\text{AKC}$ vuông tại K ta có $\angle\text{KCA} + \angle\text{A}_{1} = 90^{0}$ hay $\angle\text{NCE} + \angle\text{A}_{1} = 90^{0}$
Từ (3), (4), (5) suy ra $\angle\text{E}_{1} + \angle\text{E}_{4} = 90^{0}$
Lại có $\angle\text{E}_{1} + \angle\text{E}_{4} + \angle\text{IEN} = 180^{0}$ (do $\text{A};\text{E};\text{C}$ thẳng hàng)
Suy ra $90^{0} + \angle\text{IEN} = 180^{0}$ hay $\angle\text{IEN} = 90^{0}$ hay $\text{EN}\bot\text{EI}$ tại E.
Do đó NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
+ Áp dụng định lí Pythagore cho $\text{ΔCIK}$ vuông tại K, ta có: $\text{CI}^{2} = \text{CK}^{2} + \text{IK}^{2}$
Lại có $\text{IA} = \text{IE} = \text{IH}$ (cùng bằng bán kính đường tròn tâm I )
Suy ra $\text{CI}^{2} - \text{IE}^{2} = \text{CK}^{2} + \text{IK}^{2} - \text{IE}^{2}$
$\text{CI}^{2} - \text{IE}^{2} = \text{CK}^{2} + \left( {\text{IK} + \text{IE}} \right)\left( {\text{IK} - \text{IE}} \right)$
$\text{CI}^{2} - \text{IE}^{2} = \text{CK}^{2} + \left( {\text{IK} + \text{IE}} \right)\left( {\text{IK} - \text{IH}} \right) = \text{CK}^{2} + \text{AK}.\text{KH}$ (6)
Ta lại có $\text{CK}.\text{CB} = \text{CK}\left( {\text{CK} + \text{KB}} \right) = \text{CK}^{2} + \text{CK}.\text{KB}$ (7)
Xét $\Delta\text{KBH}$ và $\Delta\text{KAC}$ có
$\angle\text{KBH} = \angle\text{KAC}\left( {= 90^{0} - \angle\text{ACB}} \right);\angle\text{BKH} = \angle\text{AKC} = 90^{0}$
Do đó $\Delta\text{KBH} \backsim \Delta\text{KAC}\left( {\text{g}\text{.g}} \right)$
Nên $\dfrac{\text{KB}}{\text{KA}} = \dfrac{\text{KH}}{\text{KC}}$ suy ra $\text{AK}.\text{KH} = \text{CK}.\text{KB}$ (8)
Từ (6), (7) và (8) suy ra $\text{CI}^{2} - \text{IE}^{2} = \text{CK}.\text{CB}$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
