Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại điểm I (I nằm giữa A và
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại điểm I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Hai doạn thẳng AE và CD cắt nhau tại K.
a) Chứng minh tứ giác KEBI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: $AK \cdot AE = AB \cdot AI$.
c) Gọi P là giao điểm cùa tia BE và tia DC, Q là giao điểm của hai đường thẳng AP và BK. Chứng minh OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta PQE$.
Quảng cáo
a) Chứng minh K, E, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính KB.
Chứng tỏ tứ giác KEBI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta AKI \sim \Delta ABE\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AI}{AE}$ (cặp cạnh tương ứng) hay $AE.AK = AI.AB$ (đpcm)
c) Chứng minh K là trực tâm của $\Delta ABP$
Suy ra $BK\bot AP$ tại Q (Tính chất đồng quy của 3 đường cao)
Chứng minh P, Q, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính PK.
Gọi M là trung điểm của PK. Khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEQ$
Chứng minh $OQ\bot MQ$ tại $Q \in (M)$
Suy ra OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta PQE$.
a) Do $\angle AEB = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên $\Delta KEB$ vuông tại E. Khi đó K, E, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB
Tương tự $\Delta KIB$ vuông tại I nên K, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB
Suy ra K, E, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính KB.
Chứng tỏ tứ giác KEBI là tứ giác nội tiếp.
b) Xét $\Delta AKI$ và $\Delta ABE$ có
$\angle BAE$ là góc chung
$\angle AIK = \angle AEB\left( {= 90^{0}} \right)$
Suy ra $\Delta AKI \sim \Delta ABE\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AI}{AE}$ (cặp cạnh tương ứng) hay $AE.AK = AI.AB$ (đpcm)
c) Xét $\Delta ABP$ có $AE\bot PB;PI\bot AB,$ AE và PI cắt nhau tại K nên K là trực tâm của $\Delta ABP$
Suy ra $BK\bot AP$ tại Q (Tính chất đồng quy của 3 đường cao)
Khi đó $\Delta PQK$ vuông tại Q nên P, Q, K cùng thuộc đường tròn đường kính PK
Tương tự $\Delta PEK$ vuông tại E nên P, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính PK
Vậy P, Q, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính PK.
Gọi M là trung điểm của PK. Khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEQ$
Ta có $MP = MQ$ nên $\Delta MPQ$ cân tại M nên $\angle MQP = \angle MPQ$ (1)
Do $BQ\bot AQ\left( {cmt} \right)$ nên $\Delta ABQ$ vuông tại Q, trung tuyến OQ nên $OQ = OA = OB$
Suy ra $\Delta OAQ$ cân tại O nên $\angle OQA = \angle OAQ$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle MQP + \angle OQA = \angle MPQ + \angle OAQ = 90^{0}$ (do $\Delta API$ vuông tại I)
Suy ra $\angle OQM = 180^{0} - \left( {\angle MQP + \angle OQA} \right) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$
Suy ra $OQ\bot MQ$ tại $Q \in (M)$
Chứng tỏ OQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta PQE$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
