Giải hệ phương trình (x.y∈R)

Câu hỏi số 790:

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4xy+2=0\\2^{x+y+1}=\sqrt{2-2xy}+x+y \end{matrix}\right.$ (x.y∈R)

A. (x;y)=(1;-1) hoặc (x;y)=(-1;1)

B. (x;y)=(2;1) hoặc (x;y)=(3;2)

C. (x;y)=(1;2) hoặc (x;y)=(3;1)

D. (x;y)=(0;3) hoặc (x;y)=(3;4)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790

Giải chi tiết

Điều kiện: 2-2xy ≥ 0 <=> xy≤ 1.

Đặt u=x+y, v=xy. Khi đó hệ phương trình trở thành

$\left\{\begin{matrix} u^{2}+2v+2=0\\2^{u+1}=\sqrt{2-2v}+u \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} 2v=-u^{2}-2(1)\\2^{u+1}=\sqrt{u^{2}+4}+u (2) \end{matrix}\right.$

Phương trình (2) <=> 2^u+1.( $\sqrt{u^{2}+4}$ - u) = 4 <=> 2^u.( $\sqrt{u^{2}+4}$ - u)=2 (3)

Xét hàm f(u)=2^u.( $\sqrt{u^{2}+4}$ - u). $\left ( ln2-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+4}} \right )$ > 0 với mọi u ∈ R

Suy ra hàm f đồng biến trên R. Mà ta có f(0)=2 hay u=0 là nghiệm của phương trình (3).

Do đó u=0 là nghiệm duy nhất của phương trình (3).

Suy ra u = 0, v = -1.

Suy ra $\left\{\begin{matrix} x+y=0\\xy=-1 \end{matrix}\right.$ <=> $\begin{bmatrix} x=1, y=-1\\x=-1, y=1 \end{bmatrix}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;-1) hoặc (x;y) = (-1;1).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.