a) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng tennis xếp theo chiều

Câu hỏi số 790366:

Vận dụng

a) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng tennis xếp theo chiều dọc (hình vẽ). Các quả bóng tennis có dạng hình cầu, đường kính $6,4~cm$. Tính thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis.

A tennis balls with a line drawn on it

AI-generated content may be incorrect.

b) Một công ty muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml. Bao bì được thiết kế dạng hình trụ hoặc hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Hỏi công ty nên thiết kế bao bì theo dạng nào thì tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790366

Phương pháp giải

a) Lấy thể tích hộp bóng trừ đi thể tích 3 quả bóng.

b) Với mỗi trường hợp thiết kế bao bì dạng hình trụ hoặc hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, tính diện tích toàn phần của bao bì rồi so sánh.

Giải chi tiết

a) Chiều cao hộp đựng bóng hình trụ là $h = 6,4 \cdot 3 = 19,2\,\,(~\text{cm})$

Bán kính đáy hộp đựng bóng hình trụ là $R_{1} = 6,4:2 = 3,2\,\,(~\text{cm})$.

Thể tích hộp đựng bóng hình trụ là:

$V_{1} = \pi rR_{1}^{2}~h = \pi \cdot 3,2^{2} \cdot 19,2 = 618\,\,\left( {~\text{cm}^{3}} \right)$.

Vậy thể tích hộp dựng bóng $618\,\,\text{cm}^{3}.$

Bán kính quả bóng tennis là $R_{2} = \dfrac{6,4}{2} = 3,2\,\,\left( {cm} \right)$.

Thể tích của ba quả bóng tennis có dạng hình cầu là:

$V_{2} = 3.\left( {\dfrac{4}{3}\pi R_{2}^{3}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{4}{3}\pi \cdot 3,2^{3}} \right) \approx 412\,\,(cm^{3})$

Thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis là:

$V = V_{1} - V_{2} = 618 - 412 = 206\,\,(cm^{3})$.

Vậy thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis $206\,\, cm^{3}.$

b) Đổi 100ml=100cm³

Trường hợp 1: Nếu thiết kế bao bì dạng hình trụ.

Gọi R là bán kính và h là chiều cao hình trụ.

Thể tích của hình trụ là: $\text{V}_{\text{t}} = \pi R^{2}h = 100\,\,(cm^{3})$
Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{t} = 2\pi Rh + 2\pi R^{2}$
Ta có: $S_{t} = \pi Rh + \pi Rh + 2\pi R^{2} \geq 3\sqrt[3]{\pi Rh.\pi Rh.2\pi R^{2}}$

$= 3\sqrt[3]{2\pi\left( {\pi R^{2}h} \right)^{2}} = 3\sqrt[3]{2\pi \cdot 100^{2}} \approx 119,27\,\,(cm^{2})$

Dấu bằng xảy ra khi $\pi Rh = 2\pi R^{2}$ hay $h = 2R$

Trường hợp 2: Nếu thiết kế bao bì dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.

Gọi x là độ dài đáy và a là chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật là: $V_{h} = x^{2}.a = 100\,\,(cm^{2})$
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là: $S_{h} = 2x^{2} + 4xa\,\,(cm^{2})$
Ta có: $S_{h} = 2x^{2} + 2xa + 2xa \geq 3\sqrt[3]{2x^{2}.2xa.2xa}$

$= 6\sqrt[3]{\left( {x^{2}a} \right)^{2}} = 6\sqrt[3]{100^{2}} \approx 129.27\,\,(cm^{2})$

Dấu bằng xảy ra khi $2x^{2} = 2xa$ hay $x = a$

Từ hai trường hợp trên ta có công ty nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy thì tiết kiệm nguyên liệu hơn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link