Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và CE của tam giác cắt nhau
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và CE của tam giác cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại I. Kẻ đường kính AA’.
a) Chứng minh tứ giác BDHE nội tiếp.
b) Chứng minh 3 điểm I, H, A’ thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BME cắt AM tại N. Chứng minh $\dfrac{\text{AI}}{\text{MI}} \cdot \dfrac{\text{AD}}{\text{MD}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{MN}}$
Quảng cáo
a) Chứng minh B;D;H;E thuộc đường tròn đường kính BH
Hay tứ giác BDHE nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh BH//CA’ và CH//BA’
Từ đó ta có tứ giác BHCA’ là hình bình hành
mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HA’
Suy ra H, M, A’ thẳng hàng.
Ta lại có I, H, M thẳng hàng nên I, H, M, A’ thẳng hàng
Suy ra 3 điểm I, H, A’ thẳng hàng.
c) Chứng minh AM.AN=AD.AH (5) và MH.MI = MN.MA (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\dfrac{AH.AD}{MH.MI} = \dfrac{AN}{MN}$ (7)
Mặt khác tam giác AHI đồng dạng tam giác MHD (g-g)
Suy ra $\dfrac{AH}{MH} = \dfrac{AI}{MD}$ (8)
Từ (7) và (8) suy ra $\dfrac{AI}{MI}.\dfrac{AD}{MD} = \dfrac{AN}{MN}$
a) Ta có HD vuông góc BC tại D nên tam giác BHD vuông tại D
Suy ra D thuộc đường tròn đường kính BH (1)
Ta có EH vuông góc với AB nên tam giác BED vuông tại E
Suy ra E thuộc đường tròn đường kính BH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B;D;H;E thuộc đường tròn đường kính BH
Hay tứ giác BDHE nội tiếp một đường tròn.
b) Ta có : $\angle ACA' = 90^{0}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra CA’ vuông góc với AC
Ta có: BH vuông góc với AC.
CA’ vuông góc với AC
Suy ra BH//CA’
Chứng minh tương tự ta có :CH//BA’
Từ đó ta có tứ giác BHCA’ là hình bình hành
mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HA’
Suy ra H, M, A’ thẳng hàng.
Ta lại có I, H, M thẳng hàng nên I, H, M, A’ thẳng hàng
Suy ra 3 điểm I, H, A’ thẳng hàng.
c) Ta có tam giác AEN đồng dạng AMB (g-g) suy ra $\dfrac{AE}{AM} = \dfrac{AN}{AB}$
Suy ra AE.AB=AM.AN.(3)
Ta có tam giác AEH đồng dạng ADB (g-g) suy ra $\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AH}{AB}$
Suy ra AE.AB=AD.AH. (4)
Từ (3) và (4) ta có: AM.AN=AD.AH (5)
suy ra $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AH}{AN}$
Xét tam giác AHN và tam giác AMD ta có:
$\widehat{DAM}$ chung
$\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AH}{AN}$
Suy ra tam giác AMD đồng dạng tam giác AHN
Suy ra $\angle HNM = \angle ADM = 90^{0}$
Ta có tam giác MNH đồng dạng với tam giác MIA (g-g)
suy ra $\dfrac{MN}{MI} = \dfrac{MH}{MA}$
Suy ra MH.MI = MN.MA (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\dfrac{AH.AD}{MH.MI} = \dfrac{AN}{MN}$ (7)
Mặt khác tam giác AHI đồng dạng tam giác MHD (g-g)
Suy ra $\dfrac{AH}{MH} = \dfrac{AI}{MD}$ (8)
Từ (7) và (8) suy ra $\dfrac{AI}{MI}.\dfrac{AD}{MD} = \dfrac{AN}{MN}$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
