Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với

Câu hỏi số 790546:

Vận dụng

Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy $ABCD$ là hình vuông như hình dưới đây.

Để món quà trở nên đặc biệt, bác An muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (mặt $MNPQ)$ của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh $MN$ của mặt đáy và chiều cao $AM$ của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là $4dm^{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790546

Phương pháp giải

Gọi độ dài cạnh $MN$ là $x\left( {dm} \right)$($x > 0$)

Gọi độ dài chiều cao $AM$ là $h\left( {dm} \right)$($h > 0$)

Biểu diễn $h$ theo $x$ dựa vào thể tích của chiếc hộp.

Tính diện tích cần mạ kim loại = diện tích bốn mặt xung quanh và diện tích mặt đáy dưới.

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu kết hợp nhóm hạng tử sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Từ đó tính được $x,h$.

Giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh $MN$ là $x\left( {dm} \right)$($x > 0$)

Gọi độ dài chiều cao $AM$ là $h\left( {dm} \right)$($h > 0$)

Do thể tích của chiếc hộp là 4dm³ nên ta có: $x^{2}h = 4$

Suy ra $h = \dfrac{4}{x^{2}}$

Diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là:

$\begin{array}{l} {S = x^{2} + 4xh = x^{2} + 4x.\dfrac{4}{x^{2}} = x^{2} + \dfrac{16}{x}} \\ {\,\,\,\, = \left( {x^{2} - 4x + 4} \right) + \left( {4x + \dfrac{16}{x}} \right) - 4 = \left( {x - 2} \right)^{2} + \left( {4x + \dfrac{16}{x}} \right) - 4} \end{array}$

Chứng minh bất đẳng thức Cô – si.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 2 số $4x > 0$ và $\dfrac{16}{x} > 0$ và $\left( {x - 2} \right)^{2} \geq 0$ ta có:

$S \geq 0 + 2\sqrt{4x.\dfrac{16}{4x}} - 4 = 0 + 2.8 - 4 = 12$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} {x - 2 = 0} \\ {4x = \dfrac{16}{4x}} \end{array} \right.$

Ta giải ra được $x = 2$ từ đó suy ra $h = \dfrac{4}{2^{2}} = 1$

Vậy khi độ dài cạnh đáy $MN = 2dm$ và chiều cao $AM = 1dm$ thì diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất bằng $12dm^{2}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link