Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$

Câu hỏi số 790545:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$ sao cho $AB < AC$. Kẻ đường kính $AK,E$ là hình chiếu của $C$ trên $AK$. $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn $C,\, E,\,\, M,\, O$cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ $AD\bot BC$ tại $D$. Chứng minh $AD.AK = AB.AC$ và $\Delta MDE$ cân.

c) Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$. Chứng minh khi di chuyển trên cung lớn $BC$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là 1 điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790545

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta OMC$ và $\Delta OEC$ lần lượt vuông tại M và E nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Gọi I là trung điểm của OC thì $C,\, E,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn (I) đường kính OC (bán kính OI).

b) *Chứng minh $AD.AK = AB.AC$

Chứng minh $\Delta DBA \backsim \Delta CK\text{A}$ (g.g) suy ra $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC}{AK}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) nên $AD.AK = AB.AC$.

*Chứng minh $\Delta MDE$ cân.

Để chứng minh $\Delta MDE$ cân ta chứng minh $\angle MDE = \angle MED$.

- Lập luận $\angle CAE = \angle CDE$ và $\angle CBK = \angle CAE$ suy ra $\angle CBK = \angle CDE$

- Lập luận $\angle EMC = \angle EOC$, $\angle KBC = \dfrac{1}{2}\angle KOC$ suy ra $\angle EMC = 2\angle CDE$

- Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác $\Delta MDE$ suy ra $\angle EMC = 2\angle MDE$

Do đó $\angle MDE = \angle MED$.

c) Chứng minh $\angle OBM = \angle MFO$ và $\angle MEO = \angle MCO$, mà $\angle OBM = \angle OCM$ suy ra $\angle MFO = \angle MEO$.

Do đó $\Delta EMF$cân tại $M$, nên $ME = MF$.

Mà $ME = MD$ nên $MD = ME = MF$

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$nên $M$ là điểm cố định.

Giải chi tiết

a) Chứng minh bốn $C,\, E,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn.

$\Delta OBC$ cân tại $O$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $OM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Suy ra $OM\bot BC$ suy ra $\angle OMC = 90{^\circ}$.

Tam giác OMC vuông tại $M$ nên tam giác OMC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Theo bài ra, $E$ là hình chiếu của $C$ trên $AK$ nên $CE\bot AK$ suy ra $CE\bot EO$ hay $\angle OEC = 90{^\circ}$.

Tam giác OEC vuông tại E nên tam giác OEC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Gọi $I$ là trung điểm của $OC$

Do đó $C,\, E,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn (I) đường kính OC (bán kính OI).

b) *Chứng minh $AD.AK = AB.AC$

Xét $\Delta DBA$ và $\Delta CK\text{A}$ có

$\angle ADB = \angle ACK = 90^{{^\circ}}$

$\angle ABD = \angle AKC$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Nên $\Delta DBA \backsim \Delta CK\text{A}$ (g.g)

Do đó ta có: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC}{AK}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay $AD.AK = AB.AC$ (đpcm).

*Chứng minh $\Delta MDE$ cân.

Theo bài ra $\left\{ \begin{array}{l} {AD\bot BC} \\ {AE\bot EC} \end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {\angle ADC = 90^{{^\circ}}} \\ {\angle AEC = 90^{{^\circ}}} \end{array} \right.$

Gọi $Q$ là trung điểm của $AC$

Tam giác ADC và tam giác AEC vuông tại D và E nên nội tiếp đường tròn (Q; AC), suy ra $QA = QC = QD = QE$

Suy ra bốn điểm $A,\, C,\, D,\, E$ cùng thuộc đường tròn $(Q)$

Suy ra $\angle CAE = \angle CDE$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE) (1)

Xét $(O)$ ta có: $\angle CBK = \angle CAE$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle CBK = \angle CDE$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị (3)

Suy ra $DE//BK$

Xét đường tròn $(I)$ có: $\angle EMC = \angle EOC$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC). (4)

Xét đường tròn $(O)$ có:$\angle KBC = \dfrac{1}{2}\angle KOC$ (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung KC). (5)

Từ (3); (4) và (5) suy ra $\angle EMC = 2\angle CDE$.

$\Delta MDE$ có $\angle EMC = \angle MDE + \angle MED$ (góc ngoài của tam giác) mà $\angle EMC = 2\angle MDE$

Nên $\angle MDE = \angle MED$. Do đó, $\Delta MDE$ cân tại $M$.

c) Gọi $P$ là trung điểm của $BO$

Tam giác BFO và tam giác BMO vuông tại F và M nên nội tiếp đường tròn (P; OP) suy ra $PB = PO = PF = PM$

Suy ra bốn điểm $O,M,B,F$ cùng thuộc đường tròn $(P)$

Nên $\angle OBM = \angle MFO$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO).

Xét đường tròn $(I)$ có:

$\angle MEO = \angle MCO$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO).

Mà $\angle OBM = \angle OCM$($\Delta OCB$cân tại $O$).

Do đó $\angle MFO = \angle MEO$ suy ra $\Delta EMF$cân tại $M$, do đó $ME = MF$.

Mà $ME = MD$ (Tam giác $MDE$cân tại $M$).

Suy ra $MD = ME = MF$.

Suy ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ là điểm cố định.

Vậy khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$là một điểm cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link