Cho biểu thức $A = \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} +

Câu hỏi số 790558:

Thông hiểu

Cho biểu thức $A = \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$ (với$x > 0;x \neq 9$)

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 36$

b) Chứng minh$B = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{A}{B}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790558

Phương pháp giải

a) Thay $x = 36$ (tmđk) vào biểu thức A.

b) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

c) Tính $P = \dfrac{A}{B}$$= \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$. Từ đó áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 36$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

$A = \dfrac{3 \cdot 36 + 12}{\sqrt{36} + 3} = \dfrac{108 + 12}{6 + 3} = \dfrac{120}{9} = \dfrac{40}{3}$

Vậy $A = \dfrac{40}{3}$ khi $x = 36$

b) ĐK: $x > 0;x \neq 9$

$B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right) + 2\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 3} \right) - 7\sqrt{x} - 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 + 2x - 6\sqrt{x} - 7\sqrt{x} - 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3x - 9\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $B = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ với $x > 0;x \neq 9$

c) $P = \dfrac{A}{B}$$= \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}.\dfrac{\sqrt{x} + 3}{3\sqrt{x}}$$= \dfrac{x + 4}{\sqrt{x}}$$= \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$

Với hai số thực không âm a, b ta có: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Thật vậy: $\left( {a - b} \right)^{2} \geq 0$$\left. \Rightarrow\left( {a + b} \right)^{2} \geq 4ab \right.$$\left. \Rightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab} \right.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Vì $x > 0$$\left. \Rightarrow\sqrt{x} > 0;\dfrac{4}{\sqrt{x}} > 0 \right.$ nên áp dụng bất đẳng thức trên ta có

$P = \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$ $\geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}$ $= 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:$\sqrt{x} = \dfrac{4}{\sqrt{x}}$

$x = 4\mspace{6mu}$(Thỏa mãn)

Vậy $P_{\text{min}} = 4$ khi và chỉ khi $x = 4$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link