Cho biểu thức $A = \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} +

Câu hỏi số 790558:

Thông hiểu

Cho biểu thức $A = \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$ (với$x > 0;x \neq 9$)

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 36$

b) Chứng minh$B = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{A}{B}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790558

Phương pháp giải

a) Thay $x = 36$ (tmđk) vào biểu thức A.

b) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

c) Tính $P = \dfrac{A}{B}$$= \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$. Từ đó áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 36$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

$A = \dfrac{3 \cdot 36 + 12}{\sqrt{36} + 3} = \dfrac{108 + 12}{6 + 3} = \dfrac{120}{9} = \dfrac{40}{3}$

Vậy $A = \dfrac{40}{3}$ khi $x = 36$

b) ĐK: $x > 0;x \neq 9$

$B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right) + 2\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 3} \right) - 7\sqrt{x} - 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 + 2x - 6\sqrt{x} - 7\sqrt{x} - 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3x - 9\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $B = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ với $x > 0;x \neq 9$

c) $P = \dfrac{A}{B}$$= \dfrac{3x + 12}{\sqrt{x} + 3}.\dfrac{\sqrt{x} + 3}{3\sqrt{x}}$$= \dfrac{x + 4}{\sqrt{x}}$$= \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$

Với hai số thực không âm a, b ta có: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Thật vậy: $\left( {a - b} \right)^{2} \geq 0$$\left. \Rightarrow\left( {a + b} \right)^{2} \geq 4ab \right.$$\left. \Rightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab} \right.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Vì $x > 0$$\left. \Rightarrow\sqrt{x} > 0;\dfrac{4}{\sqrt{x}} > 0 \right.$ nên áp dụng bất đẳng thức trên ta có

$P = \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}$ $\geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}$ $= 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:$\sqrt{x} = \dfrac{4}{\sqrt{x}}$

$x = 4\mspace{6mu}$(Thỏa mãn)

Vậy $P_{\text{min}} = 4$ khi và chỉ khi $x = 4$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link