Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ trên cung

Câu hỏi số 790563:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ trên cung nhỏ $AC$ ($M$ khác $A$ và $C$). $BM$ cắt $AC$ tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,\, B,\,\, K,\,\, H$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $MB$ và $OC$. Chứng minh $\angle ACM = \angle ACK$ và $MA.MC = MK.MI$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MKC$ và ba điểm $D,\, M,\, K$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790563

Phương pháp giải

a) Xét $\Delta HCB$ vuông tại $C$, cạnh huyền $BH$ nên ba điểm $H,\, C,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$

Xét $\Delta HKB$ vuông tại $K$, cạnh huyền $BH$ nên ba điểm $H,\, K,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$

Từ đó suy ra bốn điểm thuộc đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta MHC \backsim \Delta MAD$ (g-g) suy ra $\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MA}{MD}$ hay $MH.MD = MA.MC$ (5)

Vì $\left. HK\,\text{//}\, OI\Rightarrow\dfrac{MH}{MI} = \dfrac{MK}{MD} \right.$ (định lý Thales)$\left. \Rightarrow MH.MD = MK.MI \right.$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $MA.MC = MK.MI$.

c) Chứng minh $KH$ là tia phân giác của góc $MKC$.

Suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $MKC$.

+) Ta có $AB$ là đường trung trực của $CD$ do đó $\Delta KCD$ cân tại $K$.

$\left. \Rightarrow\angle KDC = \angle KCD \right.$

Mà $\angle KCD = \angle CKH$ (hai góc so le trong); $\angle CKH = \angle HKM$ (cmt)

Do đó $\angle KDC = \angle HKM$ (10)

Ta có $\angle MAH = \angle HKM$ (cmt)

Mà $\angle MAH = \angle MDC$ (hai góc nội tiếp đường tròn $(O)$ cùng chắn cung MC)

Do đó $\angle HKM = \angle MDC$ (11)

Từ (10) và (11) suy ra $\angle KDC = \angle MDC$, do đó tia DK và DM trùng nhau.

Vì vậy ba điểm $D,\, K,\, M$ thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(O)$ có $\angle ACB = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta HCB$ vuông tại $C$, cạnh huyền $BH$ nên ba điểm $H,\, C,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$ (1)

Xét $\Delta HKB$ vuông tại $K$, cạnh huyền $BH$ nên ba điểm $H,\, K,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $K,\, H,\, C,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$.

b) Xét đường tròn $(O)$ có $\angle MCA = \angle MBA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3)

Xét tứ giác KHCB nội tiếp ta có $\angle HCK = \angle HBK$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\angle MCA = \angle KCA$.

+) Vì AB vuông góc với CD tại O nên $\angle COB = 90^{0}$

Xét $(O)$ ta có $\angle CMB$ là góc nội tiếp chắn cung BC, $\angle COB$ là góc ở tâm chắn cung BC

$\left. \Rightarrow\angle CMB = \dfrac{1}{2}\angle COB = 45^{{^\circ}} \right.$.

Tương tự $\angle AMD = 45^{{^\circ}}$.

Xét $\Delta MHC$ và $\Delta MAD$ có:

$\angle MCH = \angle MDA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

$\angle CMH = \angle AMD = 45{^\circ}$ (cmt)

Suy ra $\Delta MHC \backsim \Delta MAD$ (g-g)

Khi đó $\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MA}{MD}$ hay $MH.MD = MA.MC$ (5)

Vì $\left. HK\,\text{//}\, OI\Rightarrow\dfrac{MH}{MI} = \dfrac{MK}{MD} \right.$ (định lý Thales)$\left. \Rightarrow MH.MD = MK.MI \right.$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $MA.MC = MK.MI$.

c) Ta có: $\angle MCA = \angle KCA$.

Do đó CH là tia phân giác của góc MCK.

+) Chứng minh tương tự ý a ta được tứ giác AMHK nội tiếp.

Do đó $\angle MAH = \angle MKH$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH) (7)

Xét đường tròn $(O)$ ta có $\angle MAC = \angle MBC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC) (8)

Xét tứ giác HKBC nội tiếp ta có $\angle HKC = \angle HBC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC) (9)

Từ (7), (8) và (9) suy ra $\angle MKH = \angle CKH$. Do đó KH là tia phân giác của góc MKC.

Xét tam giác $MKC$ có hai tia phân giác của góc $MCK$ và $MKC$ cắt nhau tại $H$.

Do đó $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $MKC$.