Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Kẻ
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Kẻ đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$,$I$ lần lượt là trung điểm của BC và AH.
a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$, $AEHF$ nội tiếp và$AF.AB = AE.AC$
b) Gọi N là giao điểm của $AH$ và $E F$, $K$ là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF . Chứng minh $MN$vuông góc $KI$.
c) Cho $\angle BAC = 60{^\circ}$. Tính độ dài $BC$ và diện tích hình quạt $OBC$của $(O)$theo $R$.
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm $E,F,B,C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$
Suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh bốn điểm $E,F,A,H$ nằm trên đường tròn đường kính AH.
Suy ra tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Chứng minh $\Delta AFC \backsim \Delta AEB$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB}$ hay $AF.AB = AE.AC$
b) Chứng minh $MI$ là đường trung trực của $EF$
Suy ra $MI\bot EF$ hay $KN\bot MI$
Trong $\Delta ABC$ có $H$ là trực tâm nên $AH\bot BC$ suy ra $IH\bot KM$
Trong $\Delta KIM$ có đường cao $KN,IH$ cắt nhau tại$N$ nên $N$ là trực tâm của $\Delta KIM$
Suy ra $MN\bot KI$.
c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta OMC$ vuông tại $M$ để tính $MC$.
Suy ra $BC = 2MC$
Diện tích hình quạt $OBC$ là $S_{quatOBC} = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}$
a) * Chứng minh các tứ giác $BCEF$, $AEHF$ nội tiếp
$\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên B,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
$\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên B,F,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Suy ra bốn điểm $E,F,B,C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$
Hay tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
$\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
$\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên A,F,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Suy ra bốn điểm $E,F,A,H$ nằm trên đường tròn đường kính AH.
Hay tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính AH.
* Chứng minh: $AF.AB = AE.AC$
Xét $\Delta AFC$ và $\Delta AEB$ có
$\angle AFC = \angle A EB = 90{^\circ}$ (gt)
$\angle FAE$ chung
Vậy $\Delta AFC \backsim \Delta AEB$ (g-g)
Suy ra $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB}$ hay $AF.AB = AE.AC$
b) Ta có:
$\Delta BEC$ vuông tại E có EM là trung tuyến nên $EM = \dfrac{1}{2}BC$
$\Delta BFC$ vuông tại F có FM là trung tuyến nên $FM = \dfrac{1}{2}BC$
Khi đó $ME = MF$ (1)
$\Delta AEH$ vuông tại E có EI là trung tuyến nên $EI = \dfrac{1}{2}AH$
$\Delta AFH$ vuông tại F có FI là trung tuyến nên $FI = \dfrac{1}{2}AH$
Khi đó $IE = IF$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $MI$ là đường trung trực của $EF$
Suy ra $MI\bot EF$ hay $KN\bot MI$
Trong $\Delta ABC$ có $H$ là trực tâm nên $AH\bot BC$ suy ra $IH\bot KM$
Trong $\Delta KIM$ có đường cao $KN,IH$ cắt nhau tại$N$ nên $N$ là trực tâm của $\Delta KIM$
Suy ra $MN\bot KI$.
c) Ta có $\angle BOC = 2\angle BAC = 2.60{^\circ} = 120{^\circ}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
$\Delta OBC$ cân tại $O$ có $OM$ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác
Suy ra $OM\bot BC$ và $\angle MOC = \dfrac{1}{2}\angle BOC = 60{^\circ}$
Trong $\Delta OMC$ vuông tại $M$ có:
$MC = OC.\sin\angle MOC = R\sin 60{^\circ} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Suy ra $BC = 2MC = R\sqrt{3}$
Diện tích hình quạt $OBC$ là $S_{quatOBC} = \dfrac{\pi R^{2}.120}{360} = \dfrac{\pi R^{2}}{3}$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
