Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AH.AB = AD2.
c) Cho H là trung điểm của OB. Tính độ dài cạnh AF theo R.
Quảng cáo
a) Gọi I là trung điểm của AC.
Chứng minh AI = IC = HI = KI = $\dfrac{AC}{2}$.
Vậy 4 điểm A, H, C, K cùng thuộc đường tròn (I) có đường kính AC hay tứ giác AHCK nội tiếp.
b) Chứng minh ∆AHD $\backsim$ ∆ADB (g.g)
Khi đó $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AD}{AB}$ hay AD2 = AH.AB (đpcm)
c) Chứng minh ∆OHC = ∆OHD (ch.cgv)
Khi đó HC = HD (hai cạnh tương ứng) hay H là trung điểm của CD.
Chứng minh $\angle CHK = \angle CDE$, mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên KH // FD.
∆CFD có KH // FD và H là trung điểm của CD nên K là trung điểm của FC.
Suy ra AK là đường trung tuyến của ∆ACF.
Mà AK cũng là đường cao của ∆ACF nên ∆ACF cân tại A.
Khi đó AF = AC (3)
Mà AD2 = AH.AB (chứng minh ở câu b) nên AF2 = AH.AB
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
Gọi I là trung điểm của AC.
∆AHC vuông tại H có HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC.
Suy ra AI = IC = HI = $\dfrac{AC}{2}$ (1)
∆AKC vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC.
Suy ra AI = IC = KI = $\dfrac{AC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AI = IC = HI = KI = $\dfrac{AC}{2}$.
Vậy 4 điểm A, H, C, K cùng thuộc đường tròn (I) có đường kính AC hay tứ giác AHCK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AH.AB = AD2.
Ta có: $\angle ADB = 90^{\text{o}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét ∆AHD và ∆ADB có:
$\angle DAB$ là góc chung
$\angle AHD = \angle ADB = 90^{\text{o}}$
Suy ra ∆AHD $\backsim$ ∆ADB (g.g)
Khi đó $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AD}{AB}$ hay AD2 = AH.AB (đpcm)
c) Cho H là trung điểm của OB. Tính độ dài cạnh AF theo R.
Xét ∆OHC và ∆OHD có:
OH là cạnh chung
$\angle OHC = \angle OHD = 90^{\text{o}}$
OC = OD (bán kính)
Suy ra ∆OHC = ∆OHD (ch.cgv)
Khi đó HC = HD (hai cạnh tương ứng) hay H là trung điểm của CD.
Tứ giác AHCK nội tiếp (cmt)
Suy ra $\angle CHK = \angle CAK$ (cùng chắn cung KC)
Mà $\angle CAK = \angle CAE = \angle CDE = \dfrac{1}{2}$sđ$cung\, EC$
Suy ra $\angle CHK = \angle CDE$, mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên KH // FD.
∆CFD có KH // FD và H là trung điểm của CD nên K là trung điểm của FC.
Suy ra AK là đường trung tuyến của ∆ACF.
Mà AK cũng là đường cao của ∆ACF nên ∆ACF cân tại A.
Khi đó AF = AC (3)
Ta có AH = AO + OH = R + $\dfrac{R}{2}$ = $\dfrac{3R}{2}$.
Lại có: H là trung điểm CD (cmt) và AB vuông góc với CD tại H (gt)
Suy ra AB là đường trung trực của CD do đó AC = AD (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AF = AC = AD.
Mà AD2 = AH.AB (chứng minh ở câu b) nên AF2 = AH.AB = $\dfrac{3R}{2}$.2R = 3R2.
Vậy AF = R$\sqrt{3}$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
