Cho $(O)$có đường kínhAB. Kẻ đường kính CD vuông góc vớiAB. Lấy $M$ thuộc cung nhỏ BC, AMcắt

Câu hỏi số 790599:

Vận dụng

Cho $(O)$có đường kínhAB. Kẻ đường kính CD vuông góc vớiAB. Lấy $M$ thuộc cung nhỏ BC, AMcắt CD tại $E$. Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$cắt đường thẳng BM tại $N$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên DN.

1) Chứng minh rằng: Các điểm $M,{\mkern 1mu} N,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh rằng:$EN{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} CB.$

3) Chứng minh rằng:$AM.BN = 2R^{2}$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác BNC đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790599

Phương pháp giải

1) Chứng minh các tam giác $\Delta EDN$ và $\Delta EMN$ vuông, suy ra $M,{\mkern 1mu} N,D,E$ cùng thuộc một đường tròn đường kính EN.

2) Chứng minh $\angle CBM = \angle ENM\left( {= \angle EDM} \right)$ mà hai góc $\angle CBM;\angle ENM$ ở vị trí đồng vị suy ra $EN{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} CB$.

3) Chứng minh $\Delta AMB$~$\Delta BPN$ (g.g) để có $AM.BN = AB.BP$ mà $OD = OB = BP = R$ nên $AM.BN = BP.AB = R.2R = 2R^{2}$.

Kẻ $EF \bot BC,{\mkern 1mu} NK \bot BC$. Khi đó ${S_{NBC}}{\mkern 1mu} \max $ khi và chỉ khi $NK{\mkern 1mu} \max $.

Tứ giácEFKN là hình chữ nhật nên $EF{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} NK$. Do đó$NK{\mkern 1mu} \max $ khi $EF{\mkern 1mu} \max $.

Giải chi tiết

1) Gọi $I$là trung điểm của NE.

Có $DN \bot CD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $(vì DN là tiếp tuyến của $(O)$)

Nên $\angle CDN = 90^{{^\circ}}$ hay$\angle EDN = 90^{{^\circ}}$

$\Delta EDN$ vuông tại $D$ có DI là đường trung tuyến của tam giác

Nên $DI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE$ (1)

(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Ta có $\angle AMB = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Nên $\angle EMN = 90^{{^\circ}}$

Xét $\Delta EMN$vuông tại $M$có MI là đường trung tuyến của tam giác

Nên $MI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE$$(2)$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Từ (1) và (2) Suy ra $DI = MI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE$ nên các điểm $M,{\mkern 1mu} N,D,E$ cùng thuộc một đường tròn đường kính EN.

2) Xét $(O)$có $\angle CDM = \angle CBM$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của $(O)$)

Suy ra $\angle EDM = \angle CBM$ (3)

Vì tứ giác MNDE có 4 đỉnh thuộc đường tròn đường kính EN (cmt)

Suy ra $\angle EDM = \angle ENM$ (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EM của $(I)$có đường kính EN)

Từ (3) và (4) ta có:

$\angle CBM = \angle ENM\left( {= \angle EDM} \right)$

Mà hai góc $\angle CBM;\angle ENM$này ở vị trí đồng vị

Suy ra $EN{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} CB$.

3) Ta có $BP\bot DN$nên $\angle BPN = 90^{{^\circ}}$

suy ra $\angle AMB = \angle BPN = 90^{{^\circ}}$

Vì $DN\bot CD$ (DN kẻ tiếp tuyến với $(O)$ nên $BA{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} DN$

Suy ra $\angle ABM = \angle DNB$ (hai góc đồng vị)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta BPN$ có:

$\angle AMB = \angle BPN = 90^{{^\circ}}$(chứng minh trên)

$\angle ABM = \angle DNB$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta AMB$~$\Delta BPN$ (g - g)

Do đó $\dfrac{AM}{BP} = \dfrac{AB}{BN}$ suy ra $AM.BN = AB.BP$ (5)

Xét tứ giác OBPD có:

$\angle DOB = \angle BPD = \angle ODP = 90^{{^\circ}}$

$OD = OB = R$

Suy ra OBPD là hình vuông (DHNB) nên $OD = OB = BP = R$ (6)

Từ (5) và (6) ta có $AM.BN = BP.AB = R.2R = 2R^{2}$

* Kẻ $EF \bot BC,{\mkern 1mu} NK \bot BC$

$S_{NBC} = \dfrac{1}{2}NK.BC$. Do BC không đổi nên ${S_{NBC}}{\mkern 1mu} \max $ khi và chỉ khi $NK{\mkern 1mu} \max $.

Do $EF \bot BC,{\mkern 1mu} NK \bot BC$$ \Rightarrow EF{\mkern 1mu} {\rm{//}}{\mkern 1mu} NK$.

Có tứ giác EFKN là hình bình hành (DHNB)

Mà $\angle EFK = 90^{{^\circ}}$ (do $EF\bot BC$) nên tứ giác EFKN là hình chữ nhật (DHNB)

Suy ra $EF{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} NK$.

Ta có $NK{\mkern 1mu} \max $ khi $EF{\mkern 1mu} \max $ khi $E \equiv O$ khi $M \equiv B$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link