Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với

Câu hỏi số 791305:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)(B$, $C$ là các tiếp điểm); $OA$ cắt $BC$ tại $E$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp;
b) Chứng minh $\dfrac{BA \cdot BE}{AE} = R$;
c) Gọi $I$ là trung điểm của $BE$, đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $OI$ cắt các tia $AB,AC$ theo thứ tự tại $D$ và $F$. Chứng minh $\Delta DOF$ cân và $F$ là trung điểm $AC$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:791305

Phương pháp giải

a) Tam giác ABO và tam giác ACO vuông ở B và C nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính AO

b) Chứng minh $\Delta EAB \sim \Delta EBO\left( {g - g} \right)$, từ đó suy ra đpcm.

c) Chứng minh tứ giác $FIOC$ nội tiếp, từ đó suy ra $\Delta OFD$ cân tại $O$ nên $I$ là trung điểm $DF$. Do đó $BDEF$ là hình bình hành suy ra $EF//AB$

Giải chi tiết

a) Ta có: $AB,AC$ là tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ (giả thiết)

Suy ra $AB\bot OB$ tại $B;AC\bot OC$ tại $C$ (định nghĩa tiếp tuyến)

Suy ra$\angle ABO = \angle ACO = 90^{\circ}$

Tam giác ABO và tam giác ACO vuông ở B và C nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính AO.

Nên các điểm $\text{A},\text{B},\text{C},\text{O}$ cùng thuộc đường tròn đường kính AO . Nên tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Xét $\Delta EAB$ và $\Delta EBO$ có

$\angle AEB = \angle BEO = 90^{{^\circ}}$

$\angle BAE = \angle EBO$ (cùng phụ với $\angle ABE$)

Suy ra $\Delta EAB \sim \Delta EBO\left( {g - g} \right)$

Suy ra $\dfrac{EA}{EB} = \dfrac{AB}{OB}$ nên $\dfrac{BE \cdot BA}{AE} = OB = R$

c) Ta có $\angle OID = \angle OBD\mspace{6mu} = 90^{{^\circ}}$ suy ra BDOI nội tiếp

Suy ra $\angle ODI = \angle OBI$ (hai góc nội tiếp chắn cung OI)

Ta có $\angle FIO = \angle FCO = 90^{{^\circ}}$ suy ra FIOC nội tiếp

Suy ra $\angle IFO = \angle ICO$ (hai góc nội tiếp chắn cung OI)

Ta có $OB = OC = R$ suy ra cân tại $O$ nên $\angle OBC = \angle OCB$

Suy ra$\mspace{6mu}\angle ODI = \angle OFI$

Suy ra $\Delta OFD$ cân tại $O$

Ta có $\Delta ODF$ cân tại $O,OI$ là đường cao

Suy ra $OI$ là đường trung tuyến suy ra $I$ là trung điểm $DF$

Mà $I$ là trung điểm $BE$ (giả thiết)

Suy ra $BDEF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $EF//BD$ hay $EF//AB$

Xét $\Delta CAB$ có $E$ là trung điểm $BC$ và $EF//AB\left( {F \in AC} \right)$

Suy ra $F$ là trung điểm $AC$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link