Trên mảnh đất hình $\Delta\text{ABC}$ nhọn. Người ta muốn lấy một phần đất

Câu hỏi số 791306:

Thông hiểu

Trên mảnh đất hình $\Delta\text{ABC}$ nhọn. Người ta muốn lấy một phần đất hình chữ nhật MNQP để làm vườn hoa sao cho điểm $\text{M} \in \text{AB};\text{N} \in \text{AC};\text{P},\text{Q} \in \text{BC}$ (như hình vẽ). Hãy tìm vị trí của điểm $\text{M},\text{N}$ sao cho diện tích phần đất hình chữ nhật MNQP là lớn nhất?

A diagram of a triangle with blue dots and a white background

AI-generated content may be incorrect.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:791306

Phương pháp giải

Từ $\Delta\text{AMN}$ đồng dạng $\Delta\text{ABC}$ có $MN = BC.\dfrac{AH - HI}{AH}$. Suy ra $S_{\text{MNQP~}} = \dfrac{BC}{AH}.\left( {AH - HI} \right).HI$

Từ đó tìm diện tích lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có $\Delta\text{AMN}$ đồng dạng $\Delta\text{ABC}$ nên $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AI}{AH} = \dfrac{AH - AI}{AH}$

Suy ra $MN = BC.\dfrac{AH - HI}{AH}$

$S_{\text{MNQP}} = MN.MP = MN.HI = BC.\dfrac{AH - HI}{AH}.HI = \dfrac{BC}{AH}.\left( {AH - HI} \right).HI$

Vì BC và AH không đổi nên diện tích MNPQ lớn nhất khi $\left( {AH - HI} \right)$. $HI$ lớn nhất

Với mọi $a,b > 0$ ta có: $ab \leq \dfrac{{(a + b)}^{2}}{4}$

Thật vậy, vì ${(a - b)}^{2} \geq 0$ nên ${(a + b)}^{2} - 4ab \geq 0$ suy ra $4ab \leq {(a + b)}^{2}$

Do đó: $ab \leq \dfrac{{(a + b)}^{2}}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi $a = b$.

Khi đó: $\left( {AH - HI} \right).HI \leq \dfrac{{(AH - HI + HI)}^{2}}{4} = \dfrac{AH^{2}}{4}$

Vì $\text{AH}$ không đổi nên $\left( {AH - HI} \right).HI$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{AH^{2}}{4}$ khi $\text{AH} - \text{HI} = \text{HI}$ hay $\text{AH} = 2\text{HI}$

Hay I là trung điểm của AH. Khi đó $\text{M},\text{N}$ là trung điểm của $\text{AB},\text{AC}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link