Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Từ $E$, dựng $EF\bot AD(F \in AD)$. Đường thẳng $CF$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $M$. Giao điểm của $BD$ và $CF$ là $N$. Chứng minh:
a) $CEFD$là tứ giác nội tiếp
b) $FA$ là tia phân giác của $\angle BFM$
c) $BE \cdot DN = EN \cdot BD$
Quảng cáo
a) Chứng minh các điểm E, C, D, F cùng nằm trên một đường tròn
Vậy CEFD là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Chứng minh các điểm A, B, E, F cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh $\angle BFA = \angle AFM$
Vậy FA là tia phân giác của $\angle BFM$.
c) Chứng minh $FE$ là đường phân giác trong $\Delta BFN$
Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có $\dfrac{BE}{EN} = \dfrac{BF}{FN}$ (*)
Vì $EF\bot FD$ nên FD là đường phân giác ngoài tại đỉnh F.
Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, ta có: $\dfrac{BD}{DN} = \dfrac{FB}{FN}$ (**)
Vậy từ (*) và (**) ta suy ra $\dfrac{BE}{EN} = \dfrac{BD}{DN}$
Vậy $BE \cdot DN = BD \cdot EN$ (đpcm)
a) Vì A, B, C, D thuộc (O) và AD là đường kính đường tròn
$\left. \Rightarrow\angle ACD = 90^{{^\circ}} = \angle ECD \right.$
$\left. \Rightarrow\angle ECD \right.$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ED. (1)
Theo giải thiết: $\left. EF\bot AD\Rightarrow\angle EFD = 90^{{^\circ}} \right.$
$\left. \Rightarrow\angle EFD \right.$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ED. (2)
Từ (1) và (2), suy ra các điểm E, C, D, F cùng nằm trên một đường tròn
Vậy CEFD là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Vì A, B, C, D thuộc (O) và AD là đường kính của (O) nên:
$\left. \Rightarrow\angle ABD = \angle ABE = 90^{{^\circ}} \right.$
$\left. \Rightarrow\angle ABE \right.$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AE
Mà $\angle EAF = 90^{{^\circ}}$ (gt) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AE
$\Rightarrow$ Các điểm A, B, E, F cùng nằm trên một đường tròn
$\left. \Rightarrow\angle AFB = \angle AEB \right.$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà $\angle AEB = \angle CED$ (đối đỉnh)
$\angle CED = \angle CFD$ (gọi nội tiếp cùng chắn cung CD trong đường tròn đường kính ED)
Mà $\angle CFD = \angle AFM\ $ (hai góc đối đỉnh)
$\left. \Rightarrow\angle AFB = \angle AEB = \angle CED = \angle CFD = \angle AFM \right.$
$\left. \Rightarrow\angle BFA = \angle AFM \right.$
Vậy FA là tia phân giác của $\angle BFM$.
c) Vì CEFD là tứ giác nội tiếp nên: $\angle CDE = \angle CFE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Mà $\angle CDE = \angle CDB$ là góc nội tiếp chắn cung BC trong (O)
$\left. \Rightarrow\angle CDB = \angle BAC \right.$ (góc nội tiếp chắn cung BC)
Vì BEFA là tứ giác nội tiếp nên $\angle BAE = \angle BFE$ (góc nội tiếp chắn cung BE)
$\left. \Rightarrow\angle CDE = \angle CDB = \angle BAC = \angle BFE\Rightarrow\angle BFE = \angle EFN \right.$
$\left. \Rightarrow FE \right.$ là đường phân giác trong $\Delta BFN$
Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có $\dfrac{BE}{EN} = \dfrac{BF}{FN}$ (*)
Vì $EF\bot FD$ nên FD là đường phân giác ngoài tại đỉnh F.
Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, ta có: $\dfrac{BD}{DN} = \dfrac{FB}{FN}$ (**)
Vậy từ (*) và (**) ta suy ra $\dfrac{BE}{EN} = \dfrac{BD}{DN}$
Vậy $BE \cdot DN = BD \cdot EN$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
