1) Chứng tỏ phương trình $x^{2} + 7x - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 792234:

Thông hiểu

1) Chứng tỏ phương trình $x^{2} + 7x - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $M = \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}}$.

2) Hưởng ứng phong trào “Đồng hành cùng học sinh vùng khó khăn” của nhà trường, lớp 9A theo kế hoạch cần phải gói 600 phần quà tặng giống nhau trong một số giờ quy định. Khi thực hiện, do tăng năng suất nên mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn 30 phần quà tặng, vì thế lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ lớp 9A phải gói bao nhiêu phần quà tặng (biết năng suất gói quà tặng của lớp 9A trong mỗi giờ là bằng nhau)?

3) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\dfrac{6}{\sqrt{x + 1}} + \dfrac{6}{\sqrt{x - 1}} - \dfrac{2x}{x - 1}} \right):\dfrac{2}{x - 1}$ (với $x \geq 0,x \neq 1)$ và chứng tỏ $P \leq 9$, với mọi $x \geq 0,x \neq 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792234

Phương pháp giải

1) Áp dụng định lí Viète.

2) Gọi số phần quà tặng mỗi giờ lớp 9A phải gói theo kế hoạch là $x$ (phần quà, $x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lập và giải phương trình.

3) Quy đồng và rút gọn, từ đó dựa vào điều kiện chứng minh $P \leq 9$.

Giải chi tiết

1) Phương trình $x^{2} + 7x - 5 = 0$ có $a = 1;b = 7;c = - 5$.

Ta có $ac = 1.\left( {- 5} \right) = - 5 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Áp dụng định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{7}{1} = - 7} \\ {x_{1}.x_{2} = \dfrac{- 5}{1} = - 5} \end{array} \right.$

Ta có: $M = \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}} = \dfrac{x_{2} + x_{1}}{x_{1}x_{2}} = \dfrac{- 7}{- 5} = \dfrac{7}{5}$.

Vậy phương trình $x^{2} + 7x - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ và $M = \dfrac{7}{5}$.

2) Gọi số phần quà tặng mỗi giờ lớp 9A phải gói theo kế hoạch là $x$ (phần quà, $x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Theo kế hoạch, lớp 9A cần phải gói 600 sản phẩm nên thời gian lớp 6A gói theo kế hoạch là $\dfrac{600}{x}$ (giờ)

Thực tế mỗi giờ lớp 9A gói được nhiều hơn 30 phần quà nên số phần quà mỗi giờ lớp 9A gói được thực tế là $x + 30$ (phần quà)

Khi đó thời gian lớp 9A gói thực tế là: $\dfrac{600}{x + 30}$ (giờ)

Vì lớp 9A đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} {\dfrac{600}{x} - \dfrac{600}{x + 30} = 1} \\ {\dfrac{600\left( {x + 30} \right)}{x\left( {x + 30} \right)} - \dfrac{600x}{x\left( {x + 30} \right)} = \dfrac{x\left( {x + 30} \right)}{x\left( {x + 30} \right)}} \\ {600x + 18000 - 600x = x^{2} + 30x} \\ {x^{2} + 30x - 18000 = 0} \end{array}$

Giải phương trình, ta được: $x_{1} = 120\left( {TM} \right);x_{2} = - 150\left( {KTM} \right)$

Vậy số phần quà tặng mỗi giờ lớp 9A phải gói theo kế hoạch là 120 phần quà.

3) ĐK: $x \geq 0,x \neq 1$

$\begin{array}{l} {P = \left( {\dfrac{6}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{6}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2x}{x - 1}} \right):\dfrac{2}{x - 1}} \\ {= \left\lbrack {\dfrac{6\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} + \dfrac{6\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} - \dfrac{2x}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}} \right\rbrack:\dfrac{2}{x - 1}} \\ {= \dfrac{6\sqrt{x} - 6 + 6\sqrt{x} + 6 - 2x}{x - 1}.\dfrac{x - 1}{2}} \\ {= \dfrac{12\sqrt{x} - 2x}{2}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x}\left( {6 - \sqrt{x}} \right)}{2}} \\ {= \sqrt{x}\left( {6 - \sqrt{x}} \right)} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}P = \sqrt x \left( {6 - \sqrt x } \right)\\ = - x + 6\sqrt x \\ = - (x - 6\sqrt x + 9) + 9\\ = - {(\sqrt x - 3)^2} + 9\end{array}$

Vì $- {(\sqrt{x} - 3)}^{2} \leq 0$ với mọi $x \geq 0,x \neq 1$ nên $- {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + 9 \leq 9$

Vậy $P = \sqrt{x}\left( {6 - \sqrt{x}} \right)$ và $P \leq 9$ với mọi $x \geq 0,x \neq 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link