Cho tam giác nhọn $ABC(AB > AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác
Cho tam giác nhọn $ABC(AB > AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC(H \in BC)$. Từ $H$ kẻ $HK,HI$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ $\left( {K \in AB,I \in AC} \right)$.
a) Chứng minh tứ giác $AKHI$ nội tiếp.
b) Kẻ đường kính $AD$ của $(O)$, gọi $M$ là giao điểm của $AD$ với $IK$. Chứng minh rằng $\angle AHM = \angle ADH$.
Quảng cáo
a) Chứng minh A, H, K, I cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AKHI nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta AKI \sim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle AIK = \angle ABC$ (cặp góc tương ứng)
Chứng minh $\Delta AMK \sim \Delta ABD\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AK}{AD}$ hay $AM.AD = AK.AB$
Mà $AH^{2} = AB.AK$ nên $AM.AD = AH^{2}$ hay $\dfrac{AM}{AH} = \dfrac{AH}{AD}$
Kết hợp $\angle HAD$ chung suy ra $\Delta AMH \sim \Delta AHD\left( {c.g.c} \right)$
Vậy $\angle AHM = \angle ADH$ (hai góc tương ứng) (đpcm)
a) Do $HK\bot AB$ nên $\Delta AHK$ vuông tại K nên A, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính AH
$HI\bot AC$ nên $\Delta AHI$ vuông tại I nên A, H, I cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Suy ra A, H, K, I cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AKHI nội tiếp.
b) Xét $\Delta AHI$ và $\Delta ACH$ có $\angle HAC$ chung và $\angle AIH = \angle AHC\left( {= 90^{0}} \right)$
Suy ra $\Delta AHI \sim \Delta ACH\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AI}{AH}$ hay $AH^{2} = AI.AC$
Tương tự $\Delta AHK \sim \Delta ABH\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AK}{AH}$ hay $AH^{2} = AB.AK$
Suy ra $AI.AC = AK.AB$ hay $\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AK}{AC}$
Kết hợp với $\angle BAC$ chung nên suy ra $\Delta AKI \sim \Delta ACB\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle AIK = \angle ABC$ (cặp góc tương ứng)
Ta có $\angle AIM + \angle IAM = \angle ABC + \angle CAD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABD = 90^{0}$ (do chắn đường kính AD)
Suy ra $\Delta AMI$ vuông tại M.
Xét $\Delta AMK$ và $\Delta ABD$ có $\angle DAB$ chung và $\angle AMK = \angle ABD\left( {= 90^{0}} \right)$
Suy ra $\Delta AMK \sim \Delta ABD\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AK}{AD}$ hay $AM.AD = AK.AB$
Mà $AH^{2} = AB.AK$ nên $AM.AD = AH^{2}$ hay $\dfrac{AM}{AH} = \dfrac{AH}{AD}$
Kết hợp $\angle HAD$ chung suy ra $\Delta AMH \sim \Delta AHD\left( {c.g.c} \right)$
Vậy $\angle AHM = \angle ADH$ (hai góc tương ứng) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
