Cho nừa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$ có dây cung $CD = R$ (C và D không trùng với A và B,

Câu hỏi số 792904:

Vận dụng

Cho nừa đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$ có dây cung $CD = R$ (C và D không trùng với A và B, C thuộc cung nhỏ BD). Hai đường thẩng AD và BC cắt nhau tại E, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại H. Đường tròn tâm T ngoại tiếp tam giác O C D cắt AE tại điểm F và cắt AB tại điểm K (F không trùng với D và K không trùng với O).

1) Chứng minh $DECH$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $ED.EA = EC.EB$ và tam giác $CEF$đều.

3) Chứng minh ba điểm $E,H,K$thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792904

Phương pháp giải

1) Vì $\Delta HDE$ vuông tại $D$, $\Delta HCE$ vuông tại $C$ nên $C,D,E,H$ thuộc đường tròn đường kính $EH.$

2) $\Delta EDB$ đồng dạng với $\Delta ECA$ suy ra $ED.EA = EC.EB$, $\angle EFC = \angle DOC = 60{^\circ}$

$\Delta CEF$có $\angle EFC = \angle CEF = 60{^\circ}$ nên $\Delta CEF$ đều.

3) Gọi P là giao điểm của $EH$ và $AB$. Chứng minh $\angle CPB = \angle CKB\left( {= 60{^\circ}} \right)$ suy ra $P$ và $K$ trùng nhau.

Giải chi tiết

1) Có C,D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên $\angle ADB = \angle ACB = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà AC cắt BD tại $H$ nên ta có $\angle HDE = \angle HCE =$ $90^{{^\circ}}$.

Vì $\Delta HDE$ vuông tại $D$ nên $D$ thuộc đường tròn đường kính $EH.$

Vì $\Delta HCE$ vuông tại $C$ nên $C$ thuộc đường tròn đường kính $EH.$

Do đó tứ giác $DECH$nội tiếp đường tròn đường kính $EH.$

2) Xét $\Delta EDB$ và $\Delta ECA$ có $\angle AEB$ chung và $\angle EDB = \angle ECA = 90{^\circ}$.

Vậy $\Delta EDB$ đồng dạng với $\Delta ECA$.

Suy ra $\dfrac{ED}{EC} = \dfrac{EB}{EA}$, do đó $ED.EA = EC.EB$.

Có $OC = OD = CD = R$ suy ra $\Delta OCD$ đều nên sđ cung$CD = 60{^\circ}$.

Do đó $\angle DAC = \dfrac{1}{2}$ sđ cung$CD = 30{^\circ}$.

Mà $\angle ACB$ là góc ngoài $\Delta ACE$ nên $\angle AEB = \angle ACB - \angle DAC = 90^{{^\circ}} - 30^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}(1)$.

Lại có tứ giác ODFC nội tiếp nên $\angle EFC = \angle DOC = 60^{{^\circ}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CEFđều.

Xét đường tròn $(T)$, ta có $\angle CKB = \angle CDO = 60^{{^\circ}}$ (cùng chắn cung OC)

Xét $\Delta EAB$ có hai đường cao $AC$và $BD$cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm $\Delta EAB$, suy ra $EH\bot AB$.

Gọi P là giao điểm của $EH$ và $AB$.

Ta có $\angle APE = \angle ACE = 90^{{^\circ}}$ nên tứ giác AECK nội tiếp đường tròn đường kính AE

Do đó $\angle CPB = \angle AEB = 60^{{^\circ}}$ (cùng bù với $\angle APC$) (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\angle CPB = \angle CKB\left( {= 60^{{^\circ}}} \right)$ nên $P$ và $K$ trùng nhau.

Do đó ba điểm $E,H,K$thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link