Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. Chứng minh: $\sqrt{\dfrac{ab +

Câu hỏi số 792920:

Vận dụng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$.

Chứng minh: $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} + \sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq 2 + ab + bc + ca$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792920

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si suy ra $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} \geq ab + 2c^{2}$; $\sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} \geq bc + 2a^{2}$ và $\sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq ca + 2b^{2}$ rồi cộng vế với vế các bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm, ta có:

$\sqrt{\left( {ab + 2c^{2}} \right)\left( {a^{2} + b^{2} + ab} \right)} \leq \dfrac{2c^{2} + a^{2} + b^{2} + 2ab}{2} \leq \dfrac{2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right)}{2} = 1$

(do $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$)

Ta lại có: $1 + ab - c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab - c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$

Khi đó: $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} = \dfrac{ab + 2c^{2}}{\sqrt{\left( {ab + 2c^{2}} \right)\left( {a^{2} + b^{2} + ab} \right)}} \geq ab + 2c^{2}(1)$

Tương tự $\sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} \geq bc + 2a^{2}(2)$ và $\sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq ca + 2b^{2}(3)$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

$\begin{array}{l} {\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} + \sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}}} \\ {\geq ab + 2c^{2} + bc + 2a^{2} + ca + 2b^{2}} \\ {= 2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + ab + bc + ca = 2 + ab + bc + ca} \end{array}$

Dấu “=’’ khi $\left\{ \begin{array}{l} {a,b,c > 0} \\ {a = b = c} \\ {a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1} \end{array} \right.$ hay $a = b = c = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link