Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. Chứng minh: $\sqrt{\dfrac{ab +

Câu hỏi số 792920:

Vận dụng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$.

Chứng minh: $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} + \sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq 2 + ab + bc + ca$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792920

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si suy ra $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} \geq ab + 2c^{2}$; $\sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} \geq bc + 2a^{2}$ và $\sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq ca + 2b^{2}$ rồi cộng vế với vế các bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm, ta có:

$\sqrt{\left( {ab + 2c^{2}} \right)\left( {a^{2} + b^{2} + ab} \right)} \leq \dfrac{2c^{2} + a^{2} + b^{2} + 2ab}{2} \leq \dfrac{2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right)}{2} = 1$

(do $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$)

Ta lại có: $1 + ab - c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab - c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$

Khi đó: $\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} = \dfrac{ab + 2c^{2}}{\sqrt{\left( {ab + 2c^{2}} \right)\left( {a^{2} + b^{2} + ab} \right)}} \geq ab + 2c^{2}(1)$

Tương tự $\sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} \geq bc + 2a^{2}(2)$ và $\sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}} \geq ca + 2b^{2}(3)$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

$\begin{array}{l} {\sqrt{\dfrac{ab + 2c^{2}}{1 + ab - c^{2}}} + \sqrt{\dfrac{bc + 2a^{2}}{1 + bc - a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{ca + 2b^{2}}{1 + ca - b^{2}}}} \\ {\geq ab + 2c^{2} + bc + 2a^{2} + ca + 2b^{2}} \\ {= 2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + ab + bc + ca = 2 + ab + bc + ca} \end{array}$

Dấu “=’’ khi $\left\{ \begin{array}{l} {a,b,c > 0} \\ {a = b = c} \\ {a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1} \end{array} \right.$ hay $a = b = c = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link