Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Trên cung BC lấy các điểm F, E (F thuộc cung BE; E, F khác
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Trên cung BC lấy các điểm F, E (F thuộc cung BE; E, F khác B và C); đường thẳng BF và CE cắt nhau tại A; BE và CF cắt nhau tại H; đường thẳng AH cắt EF và BC lần lượt tại I và D. Đường thẳng qua I song song với BC cắt $AB,BE$ lần lượt tại P, Q. Tia AQ cắt BC tại K.
a) Chứng minh các tứ giác AEHF , ACDF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $AI.HD = AD.HI$ và D là trung điểm của BK.
Quảng cáo
a) $\angle AEH = \angle AFH = 90^{{^\circ}}$ nên D và F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
$\angle ADC = \angle AFC = 90^{{^\circ}}$ nênD và F cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh FH là phân giác của góc DFE, rồi áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
a) Vì $\angle BEC$ và $\angle BFC$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ nên: $\angle BEC = \angle BFC = 90^{{^\circ}}$ $\left. \Rightarrow\angle AEH = \angle AFH = 90^{{^\circ}} \right.$
hai điểm $E$ và $F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$
⇒ bốn điểm $A\,,\, E\,,\, H\,,\, F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$
Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.
Tam giác ABC có BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H suy ra H là trực tâm của tam giác ABC $AD\bot BC$
Tứ giác ACDF có: $\angle ADC = \angle AFC = 90^{{^\circ}}$
Suy ra D và F cùng thuộc đường tròn đường kính AC . Do đó tứ giác ACDF là tứ giác nội tiếp.
b) +) Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra: $\angle EFH = \angle EAH$(cùng chắn cung EH)
Tứ giác ACDF nội tiếp suy ra: $\angle DFH = \angle EAH$ (cùng chắn cung DC)
Do đó $\angle EFH = \angle DFH$ nên FH là phân giác của góc DFE.
- Xét tam giác IFD có FH là tia phân giác trong tại đỉnh F nên ta có: $\dfrac{HI}{HD} = \dfrac{FI}{FD}(1)$ (tính chất tia phân giác trong)
- Lại có: $FH\bot FA$ nên FA là tia phân giác ngoài tại đỉnh F của tam giác DFE suy ra $\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{FI}{FD}(2)$ (tính chất tia phân giác góc ngoài).
+ Từ (1) và (2) suy ra: $\dfrac{HI}{HD} = \dfrac{AI}{AD}$ hay $AI.HD = AD.HI$ (đpcm)
Vì $IP//BD$ nên $\dfrac{IP}{BD} = \dfrac{AI}{AD}(3)$(Hệ quả định lí Ta lét)
Lại có: $IQ//BD$ nên $\dfrac{IQ}{BD} = \dfrac{IH}{HD}(4)$
Mặt khác: $\dfrac{HI}{HD} = \dfrac{AI}{AD}$ (5) (cmt)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\dfrac{IP}{DB} = \dfrac{IQ}{BD}$ suy ra$IP = IQ$
Ta có: $IP//DB$ nên $\dfrac{IP}{DB} = \dfrac{AI}{AD}$
Lại có: $IQ//DK$nên $\dfrac{IQ}{DK} = \dfrac{AI}{AD}$
Suy ra $\dfrac{IP}{DB} = \dfrac{IQ}{DK}$
Mà $IP = IQ$nên $DB = DK$
Suy ra $D$ là trung điểm của $BK$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
