Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ kẻ đường thẳng $d$ không đi qua tâm $O$

Câu hỏi số 792934:

Vận dụng

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ kẻ đường thẳng $d$ không đi qua tâm $O$ cắt đường tròn tại hai điểm $B,C$ (điểm $B$ nằm giữa hai điểm $M$ và $C$) và tiếp tuyến $MA$ ($A$ là tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng $OH$ cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại hai điểm $NK$ (trong đó điểm $K$ thuộc cung $BAC$). Gọi $D$ là giao điểm của $AN$ và $BC$.
a) Chứng minh tứ giác $AKHD$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: $\angle NAB = \angle NBD$ và $NB^{2} = NA.ND$.
c) Chứng minh rằng khi đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ cố định đồng thời đường thẳng $d$ thay đổi thì điểm $D$ nằm trên một đường tròn cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792934

Phương pháp giải

a) Tam giác $AKD$ vuông tại $A$, tam giác $KHD$ vuông tại H nên 4 điểm $A,~H,K,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KD$

b) Chứng minh $\Delta ANB \sim \Delta BN\text{D}$ (g.g), từ đó suy ra đpcm.

c) Chứng minh $D$ thuộc đường tròn tâm $M$ bán kính $MA$.

Giải chi tiết

a) Xét ($O;R$) có $\angle KAN$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\angle KAN = 90^{\circ}$.

Tam giác $AKD$ vuông tại $A$ nên $A,K,D$ thuộc đường tròn đường kính $KD$

Xét $\Delta OBH$và $\Delta OCH$có:

$OB = OC$

$OH$ chung

$HB = HC$(do H là trung điểm của BC)

Suy ra $\Delta OBH = \Delta OCH\left( {c.c.c} \right)$

Suy ra $\angle OHB = \angle OHC$(hai góc tương ứng)

Mà 2 góc này kề bù nên $\angle OHB + \angle OHC = 180^{{^\circ}}$

Suy ra $\angle OHB = \angle OHC = 90^{{^\circ}}$

Do đó $KN\bot BC$ suy ra $\angle KHD = 90^{{^\circ}}$

Tam giác $KHD$ vuông tại H nên $H,K,D$ thuộc đường tròn đường kính $KD$

Do đó 4 điểm $A,~H,K,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KD$

Suy ra tứ giác $AKHD$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét ($O;R$) có $KN\bot BC$ nên $N$ là điểm chính giữa cung BC suy ra $cung\, BN = cung\, NC$

Suy ra $\angle BAN = \angle NBC$ (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét $\Delta BND$ và $\Delta ANB$ có $\angle BAN = \angle NBD;\angle BNA$ chung

Suy ra $\Delta ANB \sim \Delta BND$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AN}{BN} = \dfrac{NB}{ND}$ hay $NB^{2} = NA.ND$

c) Tứ giác AKHD nội tiếp nên $\angle ADH + \angle AKH = 180^{{^\circ}}$ (hai góc đối)

Lại có: $\angle ADH + \angle ADM = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\angle AKH = \angle ADM$ mà $\angle AKH = \angle MAD$ (cùng có số đo $ = \dfrac{1}{2}s{\rm{dcung}}{\mkern 1mu} {\rm{AN}}$)

Suy ra $\angle ADM = \angle MAD$

$\Delta AMD$ có $\angle ADM = \angle MAD$ nên $\Delta ADM$ cân tại $M$ suy ra $MD = MA$

Mà $M,\left( {O;R} \right)$ cố định nên tiếp tuyến $MA$ cố định và độ dài $MA$ không đổi.

Suy ra $D$ thuộc đường tròn tâm $M$ bán kính $MA$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link