Cho phương trình $x^{2} - \left( {2m + 5} \right)x + 2m + 1 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương

Câu hỏi số 792945:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - \left( {2m + 5} \right)x + 2m + 1 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn: $\left| {\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}} \right| = 2\sqrt{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792945

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

- Bình phương hai vế của biểu thức đã cho rồi biến đổi theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng hệ thức Viète.

Giải chi tiết

Ta có $\text{Δ} = {(2m + 5)}^{2} - 4\left( {2m + 1} \right) = 4m^{2} + 12m + 21 = {(2m + 3)}^{2} + 12 > 0$ với mọi $m$

Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Viète. ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2m + 5} \\ {x_{1}x_{2} = 2m + 1} \end{array} \right.$

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dương là $\left\{ \begin{array}{l} {2m + 5 > 0} \\ {2m + 1 > 0} \end{array} \right.$ hay $m > - \dfrac{1}{2}$

Ta có $\left| {\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}} \right| = \sqrt{12}$

$\left( {\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}} \right)^{2} = 12$

$x_{1} + x_{2} - 2\sqrt{x_{1}.x_{2}} = 12$

$2m + 5 - 2\sqrt{2m + 1} = 12$

${(\sqrt{2m + 1} - 1)}^{2} = 3^{2}$

TH1: $\sqrt{2m + 1} - 1 = 3$ suy ra $\sqrt{2m + 1} = 4$ hay $2m + 1 = 16$ hay $m = \dfrac{15}{2}$ (TMĐK)

TH2: $\sqrt{2m + 1} - 1 = - 3$ suy ra $\sqrt{2m + 1} = - 2\left( {VN} \right)$

Vậy $m = \dfrac{15}{2}$ là giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link