a) Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích

Câu hỏi số 792977:

Vận dụng

a) Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $400\text{~m}^{3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 500000 đồng $/\text{m}^{2}$ (bao gồm cả diện tích tường và đáy bể). Hỏi chi phí thuê nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?
b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a + b + c = 3\sqrt{2}$.

Chứng minh rằng biểu thức: $\text{P} = \dfrac{1}{\sqrt{a\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{\sqrt{b\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{\sqrt{c\left( {a + b} \right)}} \geq \dfrac{3}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792977

Phương pháp giải

a) Gọi $x,y(\text{dm})$ lần lượt là chiều rộng đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật $(x,y > 0)$ do đó chiều dài của đáy là $4x(\text{dm})$. Rút y theo x, từ đó tính diện tích tôn theo x rồi tìm giá trị nhỏ nhất.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số, sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky dạng phân thức.

Giải chi tiết

a) Gọi $x,y(\text{m})$ lần lượt là chiều rộng đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật $(x,y > 0)$ do đó chiều dài của đáy là $4x\,(\text{m})$

Thể tích thùng tôn dạng khối hộp chữ nhật $V = 4x.x.y = 400$ hay $4x^{2}y = 400$

Suy ra $y = \dfrac{100}{x^{2}}$

Diện tích tôn cần là: $S = S_{xq}~ + S_{d} = 10xy + 4x^{2} = 4\left( {\dfrac{250}{x} + x^{2}} \right)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được

$\dfrac{250}{x} + x^{2} = \dfrac{125}{x} + \dfrac{125}{x} + x^{2} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{125}{x} \cdot \dfrac{125}{x} \cdot x^{2}} = 75$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = 5$ do đó $\text{S} \geq 300\text{m}^{2}$

Vậy chi phí thấp nhất để mua tôn là: $300.500000 = 150000000$ đồng.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\sqrt{2a\left( {b + c} \right)} \leq \dfrac{2a + b + c}{2}\ $suy ra $\sqrt{2a\left( {b + c} \right)} \leq \dfrac{2a + b + c}{2\sqrt{2}}\ $

Suy ra $\dfrac{1}{\sqrt{a\left( {b + c} \right)}} \geq \dfrac{2\sqrt{2}}{2a + b + c}$ Tương tự ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{b\left( {c + a} \right)}} \geq \dfrac{2\sqrt{2}}{a + 2b + c}$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{c\left( {a + b} \right)}} \geq \dfrac{2\sqrt{2}}{a + b + 2c}$

Do đó $\text{P} \geq 2\sqrt{2}\left( {\dfrac{1}{2a + b + c} + \dfrac{1}{a + 2b + c} + \dfrac{1}{a + b + 2c}} \right)$

Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopsky:

$\dfrac{1}{2a + b + c} + \dfrac{1}{a + 2b + c} + \dfrac{1}{a + b + 2c} \geq \dfrac{{(1 + 1 + 1)}^{2}}{4a + 4b + 4c} = \dfrac{9}{4(a + b + c)}$

Suy ra: $\text{P} \geq 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{9}{4(x + y + z)} = \dfrac{18\sqrt{2}}{4.3\sqrt{2}} = \dfrac{3}{2}$

Vậy $\text{P} \geq \dfrac{3}{2}$. Khi $x = y = z = \sqrt{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link