Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối
Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E. Qua điểm D vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại K.
a) Chứng minh tứ giác BODK là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là giao điểm của OK và BD ; đường tròn ngoại tiếp tam giác DEK cắt đường tròn $\left( \text{O} \right)$ tại G Chứng minh $\text{DI}.\text{DK} = \text{BI}.\text{KE}$ và ba điểm $\text{C},\text{I},\text{G}$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) $\Delta OBD$ vuông tại $\text{O}$, $\Delta KBC$ vuông tại K nên 4 điểm $\text{B},\text{O},\text{D},\text{K}$ cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) - Chứng minh KI là phân giác trong của $\Delta BDK$ nên $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{KD}{KB}$; $\Delta KBD \sim \Delta KCE$ nên $\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{KE}{KD}$. Từ đó suy ra đpcm.
- Lần lượt chứng minh C,G,E thẳng hàng và $\text{C},\text{I},\text{E}$ thẳng hàng.
a) Ta có $\Delta OBD$ vuông tại $\text{O}\left( {\text{AB}\bot\text{CD}} \right)$ nên $\Delta OBD$ nội tiếp đường tròn đường kính BD
Suy ra 3 điểm $\text{B},\text{O},\text{D}$ thuộc đường tròn đường kính BD (1)
Ta có $\Delta KBD$ vuông tại $\text{O}\left( {\text{DK}\bot\text{BE}} \right)$ nên $\Delta KBD$ nội tiếp đường tròn đường kính BD
Suy ra 3 điểm $\text{B},\text{K},\text{D}$ thuộc đường tròn đường kính BD (1)
Suy ra 3 điểm B, K, D thuộc đường tròn đường kính BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $\text{B},\text{O},\text{D},\text{K}$ thuộc đường tròn đường kính BD do đó tứ giác BODK nội tiếp đường tròn.
b) Ta có $\text{OB} = \text{OD} = \text{R}$ và $AB\bot CD$ tại O suy ra $\Delta OBD$ vuông cân tại O nên $\angle ODB = \angle OBD = 45^{{^\circ}}$
Tứ giác BODK nội tiếp nên $\angle BKO = \angle ODB = 45^{{^\circ}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB) và $\angle DKO = \angle OBD = 45^{{^\circ}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OD)
Do đó $\angle DKO = \angle BKO = 45^{{^\circ}}$ suy ra KI là phân giác trong của $\Delta BDK$ nên $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{KD}{KB}$ (3)
Mặt khác chứng minh được $\Delta KBD \sim \Delta KCE$
Suy ra $\dfrac{KD}{KB} = \dfrac{KE}{KD}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{KE}{KD}$ hay DI.DK $= BI.KE$ (đpcm)
Ta thấy:
$\angle DGC = 90^{\circ}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
$\angle EGD = 90^{\circ}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $\angle CGE = \angle DGC + \angle EGD = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{0}$
Suy ra C,G,E thẳng hàng (5)
Theo câu b ta có: $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{KE}{KD}$
Mặt khác $\Delta KDE \sim \Delta KBD$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{KE}{KD} = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{DE}{BC}$ (vì $\text{BC} = \text{BD}$)
Do đó $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{CE}{BC}$
Xét $\Delta\text{BIC}$ và $\Delta\text{DIE}$ có $\dfrac{DI}{BI} = \dfrac{CE}{BC}$ và $\angle CBI = \angle EDI = 90^{\circ}$
Suy ra $\Delta BIC \sim \Delta DIE($c.g.c) nên $\angle CIB = \angle EID$ do đó $\text{C},\text{I},\text{E}$ thẳng hàng (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\text{C},\text{I}$, G thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
