Cho hình chữ nhật ABCD có $AB > AD$. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E $(E \neq B)$. Đường
Cho hình chữ nhật ABCD có $AB > AD$. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E $(E \neq B)$. Đường thẳng qua D và vuông góc với DE cắt đường thẳng AB tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng EF
a) Chứng minh bốn điểm F, D, B, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của ED và BF; K là giao điểm của HD và BF. Chứng minh $FK.FB = FA.FI$.
c) Chứng minh rằng khi điểm E đi chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta EDF$ vuông tại D và $\Delta BEF$ vuông tại B.
Vậy E, F, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.
b) Chứng minh $\Delta FKH \sim \Delta FEB\left( {g.g} \right)$ nên $FK.FB = FE.FH$ (1)
Tương tự $\Delta FHD \sim \Delta FDE\left( {g.g} \right)$ nên $FD^{2} = FH.FE$ (2)
$\Delta FAD \sim \Delta FDI\left( {g.g} \right)$ nên $FD^{2} = FA.FI$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $FK.FB = FA.FI$
c) Chứng minh tứ giác AHFD nội tiếp đường tròn đường kính FD
Suy ra $\angle FAH = \angle FDH$
Từ đó chứng minh được $\angle HAB + \angle BAC = 180^{o}$
Hay H, A, C thẳng hàng.
Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.
a) Do $ED\bot FD$ nên $\Delta EDF$ vuông tại D. Khi đó E, F, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF
Có $\Delta BEF$ vuông tại B (ABCD là hình chữ nhật) nên B, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF
Vậy E, F, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF.
b) Xét $\Delta FKH$ và $\Delta FEB$ có $\angle EFB$ chung và $\angle FHK = \angle FBE\left( {= 90^{0}} \right)$
Suy ra $\Delta FKH \sim \Delta FEB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{FK}{FE} = \dfrac{FH}{FB}$ hay $FK.FB = FE.FH$ (1)
Tương tự $\Delta FHD \sim \Delta FDE\left( {g.g} \right)$ ($\angle DFE$ chung và $\angle FHD = \angle FDE = 90^{0}$) nên $FD^{2} = FH.FE$ (2)
$\Delta FAD \sim \Delta FDI\left( {g.g} \right)$ ($\angle DFI$ chung và $\angle FAD = \angle FDI = 90^{0}$) nên $FD^{2} = FA.FI$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $FK.FB = FA.FI$
c) Ta có $\angle FHD = \angle FAD = 90^{o}$
Do đó A,H,F,D thuộc đường tròn đường kính FD hay tứ giác AHFD nội tiếp đường tròn đường kính FD
Suy ra $\angle FAH = \angle FDH$
Mà $\angle FDH = \angle FED = \angle FBD = \angle BAC$, $\angle HAB + \angle FAH = 180^{o}$
Nên $\angle HAB + \angle BAC = 180^{o}$
Hay H, A, C thẳng hàng.
Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
