a) Một công ty sản xuất hàng loạt thùng đựng hàng hóa bằng gỗ. Mỗi thùng có dạng hình hộp

Câu hỏi số 793918:

Vận dụng

a) Một công ty sản xuất hàng loạt thùng đựng hàng hóa bằng gỗ. Mỗi thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông, thể tích 160 dm³. Để tiết kiệm vật liệu gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Khi đó độ dài cạnh đáy và chiều cao của thùng có giá trị bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $4(ab + bc + ca) = 5c^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \sqrt{2(\text{a} + b + c)} - a^{2} - b^{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793918

Phương pháp giải

a) Gọi đáy của thùng là $a(dm)$ với $a > 0$ và chiều cao của thùng là $b\left( {dm} \right)$ với $b > 0$

Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy là: $\dfrac{640}{a} + a^{2}$ (dm²)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm.

b) Theo BĐT Cauchy ta có $\left( {a + b} \right)^{2} + 1 \geq 2\left( {a + b} \right) \geq 2c\,\,(1)$

Ta đi chứng minh $a + b + 1 \geq \sqrt{2\left( {a + b + c} \right)}\,\,(2)$

Từ đó chứng minh $\sqrt{2\left( {a + b + c} \right)} \leq a^{2} + b^{2} + \dfrac{3}{2}$

Giải chi tiết

a) Gọi đáy của thùng là $a(dm)$ với $a > 0$ và chiều cao của thùng là $b\left( {dm} \right)$ với $b > 0$

Khi đó thể tích của thùng đựng hàng là $V = a^{2}.b = 160$ dm³ nên $b = \dfrac{160}{a^{2}}$ (dm)

Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy là:

$4a.b + a^{2} = 4a.\dfrac{160}{a^{2}} + a^{2} = \dfrac{640}{a} + a^{2}$ (dm²)

Ta có $\dfrac{640}{a} + a^{2} = \dfrac{320}{a} + \dfrac{320}{a} + a^{2} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{320}{a}.\dfrac{320}{a}.a^{2}} = 3\sqrt[3]{320^{2}} \approx 140,4$ dm² (áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm)

Dấu “=” có khi $\dfrac{320}{a} = a^{2}$ suy ra $a = \sqrt[3]{320} \approx 6,8$ dm (tm) và $b \approx 3,4$ dm (tm)

Vậy để tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy nhỏ nhất thì thùng có cạnh đáy là 6,8 dm và chiều cao là 3,4 dm

b) Ta có: $4\left( {ab + bc + ca} \right) = 5c^{2}$

Theo BĐT Cauchy ta có $\left( {a + b} \right)^{2} \geq 4ab$

Nên $\left( {a + b} \right)^{2} \geq 5c^{2} - 4c\left( {a + b} \right)$ hay $\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + 5c} \right) \geq 0$

Mà $a,\,\, b,\,\, c > 0$ nên $a + b \geq c$

Theo BĐT Cauchy ta có $\left( {a + b} \right)^{2} + 1 \geq 2\left( {a + b} \right) \geq 2c\,\,(1)$

Ta đi chứng minh $a + b + 1 \geq \sqrt{2\left( {a + b + c} \right)}\,\,(2)$

Bình phương 2 vế ta được

$\begin{array}{l} {\left( {a + b + 1} \right)^{2} \geq 2\left( {a + b + c} \right)} \\ {\left( {a + b} \right)^{2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 \geq 2\left( {a + b} \right) + 2c} \\ {\left( {a + b} \right)^{2} + 1 \geq 2c} \end{array}$

Đúng theo $(1)$

Theo BĐT Cauchy ta có $a^{2} + \dfrac{1}{4} \geq 2\sqrt{a^{2}.\dfrac{1}{4}} = a,\,\, b^{2} + \dfrac{1}{4} \geq 2\sqrt{b^{2}.\dfrac{1}{4}} = b$

Từ đó suy ra $a^{2} + b^{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \geq a + b$

Hay $a^{2} + b^{2} + \dfrac{3}{2} \geq a + b + 1\,\,(3)$

Kết hợp (2), (3) ta có $\sqrt{2\left( {a + b + c} \right)} \leq a^{2} + b^{2} + \dfrac{3}{2}$

Như vậy $S = \sqrt{2\left( {a + b + c} \right)} - \left( {a^{2} + b^{2}} \right) \leq a^{2} + b^{2} + \dfrac{3}{2} - a^{2} - b^{2} = \dfrac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \dfrac{1}{2},\,\, c = 1$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link