Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp.
b) Qua điểm K vẽ đường thẳng vuông góc với KH cắt các đường thẳng AB, AC và AH lần lượt tại các điểm E, F và Q. Chứng minh AH = 2OK và Q là trung điểm của EF.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta BNC$ vuông tại $N$ và $\Delta BMC$ vuông tại $M$.
Vậy B, M, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Kẻ đường kính AD của (O). Khi đó $\angle ACD = \angle ABD = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Chứng minh $DBHC$ là hình bình hành suy ra K là trung điểm của HD
Từ đó chứng minh được $AH = 2OK$.
Chứng minh $\Delta AEQ \sim \Delta CHK\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{EQ}{HK} = \dfrac{AQ}{CK}$ hay $EQ = \dfrac{HK.AQ}{CK}$
Tương tự $\Delta AQF \sim \Delta BKH\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{QF}{HK} = \dfrac{AQ}{BK}$ hay $QF = \dfrac{HK.AQ}{BK}$
Mà $BK = CK$ nên $EQ = FQ$ hay Q là trung điểm của EF.
a) Vì $BM\bot AC$, $CN\bot AB$ nên $\angle BMC = \angle BNC = 90^{{^\circ}}.$
Khi đó $\Delta BNC$ vuông tại $N$ nên B, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Và $\Delta BMC$ vuông tại $M$ nên B, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, M, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Kẻ đường kính AD của (O). Khi đó $\angle ACD = \angle ABD = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên $DC\bot AC$ và $BD\bot AB$.
Ta có $DC\bot AC$ và $BM\bot AC$ nên suy ra $BH \parallel DC$
Ta có $BD\bot AB$ và và $CN\bot AB$ nên $BD \parallel HC$
Suy ra $DBHC$ là hình bình hành. Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điểm của HD
Xét $\Delta ADH$ có O là trung điểm của AD và K là trung điểm của HD nên OK là đường trung bình của $\Delta ADH$. Suy ra $AH = 2OK$.
Ta có $\Delta BNC$ và $\Delta BMC$ vuông nên B, M, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Tương tự $\Delta ENH,\Delta EHK$ vuông nên N, H, K E cùng thuộc đường tròn đường kính HE
Khi đó $\angle AEQ = \angle KHC$ (cùng cộng $\angle NHK$ bằng $180^{0}$)
Lại có $\angle NAH = \angle NMH = \angle NCB$ (các góc nội tiếp) nên $\Delta AEQ \sim \Delta CHK\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{EQ}{HK} = \dfrac{AQ}{CK}$ hay $EQ = \dfrac{HK.AQ}{CK}$
Tương tự $\angle HBC = \angle QAF\left( {= \angle CNM} \right)$ và $\angle AQF = \angle BKH$ (do cùng cộng $\angle QKB$ bằng $90^{0}$)
Suy ra $\Delta AQF \sim \Delta BKH\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{QF}{HK} = \dfrac{AQ}{BK}$ hay $QF = \dfrac{HK.AQ}{BK}$
Mà $BK = CK$ nên $EQ = FQ$ hay Q là trung điểm của EF.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
