Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn $(O)$, với $AB \neq AC$ . Các đường cao BE và CF cắt
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn $(O)$, với $AB \neq AC$ . Các đường cao BE và CF cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Đường kính AM của đường tròn $(O)$cắt đường thẳng CF tại điểm P. Chứng minh $\angle BAD = \angle CAM$ và $AP.BH = AH.CP$
c) Gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng AI cắt EF tại K. Gọi N là hình chiếu vuông góc của K trên BC. Chứng minh AN đi qua trung điểm của EF.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta BFC$ vuông tại F
Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh $\Delta APC \sim \Delta AHB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{PC}{HB}$ hay $AP.HB = AH.PC$
c) Gọi G là trung điểm của EF, AG cắt BC tại N’. Ta đi chứng minh $KN'\bot BC$.
Chứng minh $\Delta AN'K \sim \Delta AIG$ (c.g.c) suy ra $\angle AN'K = \angle AIG$ (3)
Do G là trung điểm của EF nên IG đồng thời là đường cao của tam giác IEF cân tại I
Chứng minh $\angle GIA = \angle GAH$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\angle AN'K = \angle GAH$
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $KN' \parallel AD$
Mà $AD\bot BC$ nên $KN'\bot BC$. Suy ra $N \equiv N'$ hay AN cắt EF tại trung điểm G của EF
a) Do BE, CF là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\Delta BEC$ vuông tại E
Khi đó B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Tương tự $\Delta BFC$ vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Do AM là đường kính nên $\angle ABM = ACM = \angle 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\angle BAD + \angle ABD = 90^{0}$ ($\Delta ABD$ vuông tại D) và $\angle CAM + \angle AMC = 90^{0}$ ($\Delta ACM$ vuông tại C)
Mà $\angle ABD = \angle AMC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên suy ra $\angle BAD = \angle CAM$
Xét $\Delta APC$ và $\Delta AHB$ có
$\angle BAD = \angle CAM$ (cmt)
$\angle ABH = \angle ACP$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
Suy ra $\Delta APC \sim \Delta AHB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{PC}{HB}$ hay $AP.HB = AH.PC$
c) Gọi G là trung điểm của EF, AG cắt BC tại N’. Ta đi chứng minh $KN'\bot BC$.
Ta có $\angle AEJ + \angle EAJ = \angle ABC + \angle CBM = \angle ABM = 90^{0}$ nên $\Delta AJE$ vuông tại J
Do $\Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{GF}{IC}$.
Kết hợp với $\angle AFG = \angle ACI$ suy ra $\Delta AGF \sim \Delta AIC\left( {c.g.c} \right)$.
Khi đó $\angle BAG = \angle KAE$ và $\dfrac{AG}{AI} = \dfrac{AF}{AC}$ (1)
Tương tự ta có $\Delta AKE \sim \Delta AN'B\left( {g.g} \right)$ (do $\angle BAG = \angle KAE$ và $\angle AEK = \angle ABI$)
Nên $\dfrac{AK}{AN'} = \dfrac{AE}{AB}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{AG}{AI} = \dfrac{AK}{AN'}$
Mà $\angle N'AI$ chung nên $\Delta AN'K \sim \Delta AIG$ (c.g.c) suy ra $\angle AN'K = \angle AIG$ (3)
Do G là trung điểm của EF nên IG đồng thời là đường cao của tam giác IEF cân tại I
Suy ra $IG \parallel AO$ (do cùng vuông góc với EF). Khi đó $\angle GIA = \angle IAO$ (so le trong)
Lại có $\angle BAG = \angle KAE$ (cmt) và $\angle FAH = \angle JAE$ (cmt) nên $\angle IAO = \angle GAH$
Suy ra $\angle GIA = \angle GAH$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\angle AN'K = \angle GAH$
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $KN' \parallel AD$
Mà $AD\bot BC$ nên $KN'\bot BC$. Suy ra $N \equiv N'$ hay AN cắt EF tại trung điểm G của EF
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
