Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {y\left( {x^{2} + x} \right) + 2 = \left( {x^{4} - x^{2}}

Câu hỏi số 794932:

Vận dụng

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {y\left( {x^{2} + x} \right) + 2 = \left( {x^{4} - x^{2}} \right)^{2}} \\ {x^{2} + x - y = 2\sqrt{x + y}} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:794932

Phương pháp giải

Đặt $a = \sqrt{x + y}\,\,\left( {a \geq 0} \right)$

Khi đó $a^{2} = x + y$ và $x^{2} + x - y = 2a\,\,(1)$

Từ $a^{2} = x + y$ ta được $y = a^{2} - x$

Thay vào (1) ta được $\left( {x - a} \right)\left( {x + a + 2} \right) = 0$

Xét hai trường hợp và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt $a = \sqrt{x + y}\,\,\left( {a \geq 0} \right)$

Khi đó $a^{2} = x + y$ và $x^{2} + x - y = 2a\,\,(1)$

Từ $a^{2} = x + y$ ta được $y = a^{2} - x$

Thay vào (1) ta được

$x^{2} + x - a^{2} + x = 2a$

$x^{2} - a^{2} + 2x - 2a = 0$

$\left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) + 2\left( {x - a} \right) = 0$

$\left( {x - a} \right)\left( {x + a + 2} \right) = 0$

Trường hợp 1: $x = a$

Khi đó $x = \sqrt{x + y}$ hay $y = x^{2} - x\,\,\left( {x \geq 0} \right)$

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

$\left( {x^{2} - x} \right)\left( {x^{2} + x} \right) + 2 = \left( {x^{4} - x^{2}} \right)^{2}$

$\left( {x^{4} - x^{2}} \right) + 2 = \left( {x^{4} - x^{2}} \right)^{2}$

$\left( {x^{4} - x^{2}} \right)^{2} - \left( {x^{4} - x^{2}} \right) - 2 = 0$

$\left( {x^{4} - x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} - x^{2} - 2} \right) = 0$

$x^{4} - x^{2} - 2 = 0\,\,\left( {do\,\, x^{4} - x^{2} + 1 = \left( {x^{2} - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \dfrac{3}{4} > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}} \right)$

$\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{2} - 2} \right) = 0$

$x^{2} - 2 = 0\,\,\left( {do\,\, x^{2} + 1 \geq 1 > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}} \right)$

$x = \sqrt{2}\,\,\left( {do\,\, x > 0} \right)$

Với $x = \sqrt{2}$, ta được $y = 2 - \sqrt{2}$

Trường hợp 2: $x + a + 2 = 0$

$x + \sqrt{x + y} + 2 = 0$

$\sqrt{x + y} = - x - 2$

Với $- x - 2 \geq 0$ hay $x \leq - 2$, bình phương 2 vế ta được

$x + y = x^{2} + 4x + 4$ hay $y = x^{2} + 3x + 4$

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

$\left( {x^{2} + 3x + 4} \right)\left( {x^{2} + x} \right) + 2 = \left( {x^{4} - x^{2}} \right)^{2}$

$x^{4} + 4x^{3} + 7x^{2} + 4x + 2 = x^{8} - 2x^{6} + x^{4}$

$x^{8} - 2x^{6} - 4x^{3} - 7x^{2} - 4x - 2 = 0$

$x^{6}\left( {x^{2} - 2} \right) - 4x^{2}\left( {x + \dfrac{7}{4}} \right) - 2\left( {2x + 1} \right) = 0\,\,(*)$

Vì $x \leq - 2$ nên $x^{6}\left( {x^{2} - 2} \right) > 0,\,\, - 4x^{2}\left( {x + \dfrac{7}{4}} \right) > 0,\,\, - 2\left( {2x + 1} \right) > 0$

Do đó $VT\,\,(*) > 0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt{2};2 - \sqrt{2}} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link