Bên trong một biển quảng cáo hình tròn tâm $O$ đường kính 70 cm, người thợ về hai đường

Câu hỏi số 795034:

Vận dụng

Bên trong một biển quảng cáo hình tròn tâm $O$ đường kính 70 cm, người thợ về hai đường tròn $(O_{1})$, $(O_{2})$có cùng bán kính, tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ để trang trí (tham khảo hình vẽ). Tính (theo cm²) diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn $(O)$ mà không thuộc hai hình tròn $(O_{1})$, $(O_{2})$(phần không tô đen), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795034

Phương pháp giải

Gọi bán kính đường tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là $r\,\,\left( {cm;0 < r < 35} \right)$

Bán kính của đường tròn $(O)$ là $R = 35cm$

Ta có $O_{1}O_{2} \leq OO_{1} + OO_{2}$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra $2r \leq R - r + R - r$

Diện tích phần không thuộc hai hình tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là: $S = \pi R^{2} - 2\pi r^{2}$

Tính toán và biện luận.

Giải chi tiết

Gọi bán kính đường tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là $r\,\,\left( {cm;0 < r < 35} \right)$

Bán kính của đường tròn $(O)$ là $R = 35cm$

Ta có $O_{1}O_{2} \leq OO_{1} + OO_{2}$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra $2r \leq R - r + R - r$ hay $\left. 2r \leq R\Rightarrow r \leq \dfrac{35}{2} \right.$

Tổng diện tích của hai hình tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là $S_{1} = 2\pi r^{2}$

Diện tích phần không thuộc hai hình tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là:

$S = \pi R^{2} - 2\pi r^{2} = 35^{2}\pi - 2\pi r^{2} = 1225\pi - 2\pi r^{2}$

Vì $r \leq \dfrac{35}{2}$ nên $S \geq 1225\pi - 2\pi.\left( \dfrac{35}{2} \right)^{2} \approx 1924\left( {cm^{2}} \right)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $r = \dfrac{35}{2}$ (tm)

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn (O) mà không thuộc hai hình tròn $\left( O_{1} \right),\,\,\left( O_{2} \right)$ là $1924\, cm^{2}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link