1) Cho đường tròn (O) có bán kinh bằng 3 cm. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp

Câu hỏi số 795039:

Vận dụng

1) Cho đường tròn (O) có bán kinh bằng 3 cm. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến Ma, MB với (O) (A, B lần lượt là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC, tiếp tuyển tại C của (O) cắt AB tại D.

a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Tính số đo của góc OCB, biết $BC = 4~\text{cm}$.

c) Gọi N là giao điểm của MC và OD. Chứng minh $\Delta MAC$ đồng dạng với $\Delta CND$.

2) Một ly nước dạng hình nón có chiều cao là 18 cm, đường kính miệng ly là 6 cm, lượng nước trong ly cao 12 cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ bên. Tính thể tích của phần nước có trong ly.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795039

Phương pháp giải

a) Chứng minh M, O, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta ABC$ vuông tại B

c) Gọi H là giao điểm của OM và AB.

Chứng minh $\Delta OAH \sim \Delta OMA\left( {g.g} \right)$ suy ra $OA^{2} = OH.OM$

Mà $OA = OC$ nên $OC^{2} = OH.OM$ suy ra $\dfrac{OH}{OC} = \dfrac{OC}{OM}$

Từ đó suy ra $\Delta OCH \sim \Delta OMC\left( {c.g.c} \right)$

Chứng minh $\angle DNC = \angle MAC = 90^{0}$ và $\angle ODC = \angle OCM$

Suy ra $\Delta CDN \sim \Delta MCA\left( {g.g} \right)$ (ĐPCM)

2) Vì nước chiếm phần dưới của hình nón lớn, cùng hình dạng, nên hai hình nón đồng dạng, suy ra tỷ lệ các kích thước tương ứng bằng nhau

$\begin{array}{l} \dfrac{r}{R} = \dfrac{h}{H} = \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{2}{3}\\ r = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2{\mkern 1mu} cm \end{array}$

Thể tích hình nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$

Giải chi tiết

a) Do MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên $MA\bot OA,MB\bot OB$

Khi đó $\Delta MAO$ vuông tại A nên M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

$\Delta MBO$ vuông tại B nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy M, O, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Ta có $\angle ABC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\Delta ABC$ vuông tại B

Khi đó $\cos OCB = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{2.3} = \dfrac{2}{3}$ suy ra $\angle OCB \approx 48,2^{0}$

c) Gọi H là giao điểm của OM và AB.

Ta có $MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và $OA = OB$ (cùng là bán kính)

Nên OM là trung trực của AB. Khi đó $OM\bot AB$ tại trung điểm H của AB

Khi đó $\Delta OAH \sim \Delta OMA\left( {g.g} \right)$ suy ra $OA^{2} = OH.OM$

Mà $OA = OC$ nên $OC^{2} = OH.OM$ suy ra $\dfrac{OH}{OC} = \dfrac{OC}{OM}$

Kết hợp $\angle COM$ chung nên $\Delta OCH \sim \Delta OMC\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\angle OHC = \angle OCM$

Do $\Delta OHD$ vuông tại H và $\Delta OCD$ vuông tại C nên O, H, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OD

Suy ra $\angle OHC = \angle ODC$. Suy ra $\angle OCM = \angle ODC$

Mà $\angle OCM + \angle MCD = 90^{0}$ nên $\angle ODC + \angle MCD = 90^{0}$ hay $\Delta CDN$ vuông tại N

Xét $\Delta CDN$ và $\Delta MCA$ có $\angle DNC = \angle MAC = 90^{0}$

$\angle ODC = \angle OCM$

Suy ra $\Delta CDN \sim \Delta MCA\left( {g.g} \right)$ (ĐPCM)

2) Ta có hình nón lớn là cả ly có: chiều cao $H = 18cm$ và bán kính đáy $R = \dfrac{6}{2} = 3cm$

Hình nón nhỏ bên trong là phần nước có: chiều cao $h = 12cm$ và bán kính đáy $r$

Vì nước chiếm phần dưới của hình nón lớn, cùng hình dạng, nên hai hình nón đồng dạng, suy ra tỷ lệ các kích thước tương ứng bằng nhau

$\begin{array}{l} \dfrac{r}{R} = \dfrac{h}{H} = \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{2}{3}\\ r = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2{\mkern 1mu} cm \end{array}$

Thể tích hình nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$

Áp dụng tính thể tích phần nước: $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot {2^2} \cdot 12 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 12 = \dfrac{{48\pi }}{3} = 16\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link