Cho $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $BM,\, CN$ cắt nhau tại
Cho $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $BM,\, CN$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh tứ giác $BNMC$ nội tiếp và $\angle ACB = \angle AHM$
b) Tia $AH$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Trên tia DN lấy điểm E sao cho $NE = ND$. Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $MN$, $P$ là giao điểm của $EK$ và $AB$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$.
Quảng cáo
a) Chứng minh B, N, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BNMC nội tiếp.
Tương tự chứng minh A, N, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Khi đó $\angle AHM = \angle ANM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Mà $\angle ANM = \angle BCA$ (do cùng cộng với $\angle MNB$ bằng 1800)
Suy ra $\angle ACB = \angle AHM$ (đpcm)
b) Chứng minh N, H, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính HB
Từ đó chứng minh được NC là phân giác của $\angle DNM$
Nên $\dfrac{HK}{HD} = \dfrac{NK}{ND}$ (tính chất đường phân giác)
Tương tự NA là phân giác của $\angle MNE$ suy ra $\dfrac{NK}{NE} = \dfrac{PK}{PE}$ (tính chất đường phân giác)
Mà $NE = ND$ nên $\dfrac{HK}{HD} = \dfrac{PK}{PE}$ suy ra $PH \parallel ED$
Từ đó suy ra F là trung điểm của PH hay NM đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.
a) Do BM, CN là các đường cao nên $\Delta BMC$ vuông tại M nên B, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
$\Delta BNC$ vuông tại N nên B, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, N, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BNMC nội tiếp.
Tương tự ta có $\Delta ANH$ vuông tại N và $\Delta AMH$ vuông tại M nên A, N, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Khi đó $\angle AHM = \angle ANM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Mà $\angle ANM = \angle BCA$ (do cùng cộng với $\angle MNB$ bằng 1800)
Suy ra $\angle ACB = \angle AHM$ (đpcm)
b) Do $\Delta BNH$ vuông tại N và $\Delta BHD$ vuông tại D nên N, H, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính HB
Ta có $\angle MNC = \angle MBC$ (cùng chắn cung MC) và $\angle MBC = \angle DNC$ (cùng chắn cung HD)
Suy ra $\angle MNC = \angle DNC$ suy ra NC là phân giác của $\angle DNM$
Nên $\dfrac{HK}{HD} = \dfrac{NK}{ND}$ (tính chất đường phân giác)
Ta có $\angle DNC = \angle CNM$ và $\angle CNM + \angle MNA = 90^{0}$, $\angle DNC + \angle ANE = 90^{0}$ suy ra $\angle ANE = \angle MNA$
Hay NA là phân giác của $\angle MNE$ suy ra $\dfrac{NK}{NE} = \dfrac{PK}{PE}$ (tính chất đường phân giác)
Mà $NE = ND$ nên $\dfrac{HK}{HD} = \dfrac{PK}{PE}$ suy ra $PH \parallel ED$
Ta có $\dfrac{HF}{ND} = \dfrac{HK}{KD} = \dfrac{PK}{EK} = \dfrac{PF}{EN}$ nên $\dfrac{HF}{ND} = \dfrac{PF}{EN}$
Mà $NE = ND$ nên $PF = FH$ suy ra F là trung điểm của PH hay NM đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
