Ông Việt dùng một tấm tôn phẳng có dạng nửa hình tròn đường kính 4 m để tạo thành một

Câu hỏi số 795157:

Vận dụng

Ông Việt dùng một tấm tôn phẳng có dạng nửa hình tròn đường kính 4 m để tạo thành một hình thang như sau: Hình thang có bốn đỉnh đều thuộc nửa đường tròn, trong đó đáy lớn là đường kính của nưa hình tròn. Tính diện tích lớn nhất của hình thang mà ông Việt có thể tạo được.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795157

Phương pháp giải

Kẻ $AH\bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right),\,\, OM\bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)$

Chứng minh $AMOH$ là hình chữ nhật

Do đó $AM = OH = x\,\,\left( {0 < x < 4} \right)$

Suy ra $AB = 2x$

Diện tích hình thang $ABCD$ là

$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AH = \left( {x + 2} \right)\sqrt{4 - x^{2}}$

Xét $S = \left( {x + 2} \right)\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{\left( {x + 2} \right)^{3}\left( {2 - x} \right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Kẻ $AH\bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right),\,\, OM\bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)$

Vì $OM\bot AB,\,\, AB \parallel CD$ nên $OM\bot CD$

Mà $AH\bot CD$ nên $OM \parallel AH$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mặt khác $AM \parallel OH$ nên $AMOH$ là hình bình hành

Mà $\angle AHO = 90{^\circ}$ nên $AMOH$ là hình chữ nhật

Do đó $AM = OH = x\,\,\left( {0 < x < 4} \right)$

Tam giác $OAB$ cân tại $O\,\,\left( {do\,\, OA = OB} \right)$ có $OM\bot AB$ nên $MA = MB$

Suy ra $AB = 2x$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $AHO$ vuông tại $H$ có

$OA^{2} = AH^{2} + OH^{2}$ hay $AH = \sqrt{OA^{2} - OH^{2}} = \sqrt{4 - x^{2}}$

Diện tích hình thang $ABCD$ là

$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AH = \dfrac{1}{2}.\left( {2x + 4} \right).\sqrt{4 - x^{2}} = \left( {x + 2} \right)\sqrt{4 - x^{2}}$

Xét $S = \left( {x + 2} \right)\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{\left( {x + 2} \right)^{3}\left( {2 - x} \right)}$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\dfrac{x + 2}{3}.\dfrac{x + 2}{3}.\dfrac{x + 2}{3}.\left( {2 - x} \right) \leq \left( \dfrac{\dfrac{x + 2}{3} + \dfrac{x + 2}{3} + \dfrac{x + 2}{3} + 2 - x}{4} \right)^{4} = 1$

Do đó $\left( {x + 2} \right)^{3}\left( {2 - x} \right) \leq 27$ nên $\sqrt{\left( {x + 2} \right)^{3}\left( {2 - x} \right)} \leq 3\sqrt{3}$

Vậy $S \leq 3\sqrt{3}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$ hay $\angle DOA = 60{^\circ}$

Vậy diện tích lớn nhất của hình thang mà ông Việt có thể tạo được là $3\sqrt{3}\, m^{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link