Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn $a(a - c) + b(b - c) \geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều

Câu hỏi số 795478:

Vận dụng

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn $a(a - c) + b(b - c) \geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức $S = \dfrac{a^{3}}{a^{2} + c^{2}} + \dfrac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \dfrac{a^{2} + b^{2} + 2025}{a + b}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795478

Phương pháp giải

Từ giả thiết suy ra $\dfrac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \geq c$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $a^{2} + c^{2} \geq 2ac$; $b^{2} + c^{2} \geq 2bc$

Từ đó suy ra $\dfrac{a^{3}}{a^{2} + c^{2}} = a - \dfrac{ac^{2}}{a^{2} + c^{2}} \geq a - \dfrac{ac^{2}}{2ac} = a - \dfrac{c}{2}$; $\dfrac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = b - \dfrac{bc^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \dfrac{bc^{2}}{2bc} = b - \dfrac{c}{2}$.

Khi đó tìm được giá trị nhỏ nhất của S.

Giải chi tiết

Ta có: $a(a - c) + b(b - c) \geq 0$

$a^{2} + b^{2} - ac - bc \geq 0$

$a^{2} + b^{2} \geq ac + bc$

$a^{2} + b^{2} \geq \left( {a + b} \right)c$

Suy ra $\dfrac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \geq c$(do $a,b$ dương)

Do đó $\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2025}{a + b} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \dfrac{2025}{a + b} \geq c + \dfrac{2025}{a + b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $a^{2} + c^{2} \geq 2ac$; $b^{2} + c^{2} \geq 2bc$

Khi đó ta có:

$\dfrac{a^{3}}{a^{2} + c^{2}} = a - \dfrac{ac^{2}}{a^{2} + c^{2}} \geq a - \dfrac{ac^{2}}{2ac} = a - \dfrac{c}{2}$

$\dfrac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = b - \dfrac{bc^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \dfrac{bc^{2}}{2bc} = b - \dfrac{c}{2}$

Do đó: $S \geq a - \dfrac{c}{2} + b - \dfrac{c}{2} + c + \dfrac{2025}{a + b} = a + b + \dfrac{2025}{a + b} \geq 2.\sqrt{\left( {a + b} \right).\dfrac{2025}{a + b}} = 90$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \dfrac{45}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là 90 khi $a = b = c = \dfrac{45}{2}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link