Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Kẻ hai tiếp tuyến AM, A N

Câu hỏi số 795477:

Vận dụng

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Kẻ hai tiếp tuyến AM, A N với (O;R) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MN và OA.

a) Chứng minh tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AH theo R.

c) Qua A kẻ đường thẳng d cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt E, F (E nằm giữa A và F). Khi đường thẳng d thay đổi, tìm diện tích lớn nhất của tứ giác AMFN theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795477

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta AMO$ và $\Delta ANO$ vuông suy ra các điểm A, M, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

b) Chứng minh $\left. \Delta OMH \right.\sim\Delta OAM(g \cdot g)$ để có $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{OH}{OM}$ từ đó tính OH rồi suy ra AH.

c) Ké $FD\bot MN$ tại D . Ta có: $S_{AMFN} = S_{AMN} + S_{MFN} = \dfrac{1}{2}AH \cdot MN + \dfrac{1}{2}FD \cdot MN$

Do đó diện tích AMFN lớn nhất khi FD lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Do AM, AN là tiếp tuyến nên $AM\bot OM$ và $AN\bot ON$

Khi đó $\Delta AMO$ vuông tại M nên A, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OA

$\Delta ANO$ vuông tại N nên A, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Vậy A, M, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính OA hay AMON là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM = ON$ (cùng là bán kính)

Suy ra $OA$ là trung trực của MN hay $OA\bot MN$

Xét $\Delta OMH$ và $\Delta OAM$ có $\angle MOA$ chung và $\angle MHO = \angle OMA = 90^{0}$

Suy ra $\Delta OMH \sim \Delta OAM\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{OH}{OM}$ suy ra $OH = \dfrac{OM^{2}}{OA} = \dfrac{R^{2}}{3R} = \dfrac{R}{3}$

Suy ra $AH = OA - OH = 3R - \dfrac{R}{3} = \dfrac{8}{3}R$

c) Kẻ $FD\bot MN$ tại D.

Khi đó $S_{AMFN} = S_{AMN} + S_{MFN} = \dfrac{1}{2}AH.MN + \dfrac{1}{2}FD.MN$

Do $AH,MN$ là cố định nên diện tích AMFN lớn nhất khi FD lớn nhất

Mà FD lớn nhất khi F, O, D thẳng hàng. Khi đó A, O, F thẳng hàng và $D \equiv H$

Khi đó:

$FD = OF + OH = R + \dfrac{R}{3} = \dfrac{4}{3}R$ và

$MN = 2MH = 2\sqrt{OM^{2} - OH^{2}} = 2\sqrt{R^{2} - \left( \dfrac{R}{3} \right)^{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}R$

Vậy $S_{AMFN} = \dfrac{1}{2}AH.MN + \dfrac{1}{2}FD.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{8}{3}R.\dfrac{4\sqrt{2}}{3}R + \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}R.\dfrac{4\sqrt{2}}{3}R = \dfrac{8\sqrt{2}}{3}R^{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link