1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x^{2}}{x - 2} - \dfrac{y^{2}}{y + 1} = 13}

Câu hỏi số 795548:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x^{2}}{x - 2} - \dfrac{y^{2}}{y + 1} = 13} \\ {\dfrac{4}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = 1 - x - 2y} \end{array} \right.$

2) Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật (không có nắp) có thể tích bằng $45~\text{m}^{3}$, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Giá thuê nhân công xây đáy bể là 300000 đồng một mét vuông, giá thuê nhân công xây thành bể là 240000 đồng một mét vuông. Hỏi chi phí thuê nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795548

Phương pháp giải

1) Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x^{2}}{x - 2} - \dfrac{y^{2}}{y + 1} = 13\,\,(1)} \\ {\dfrac{4}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = 1 - x - 2y\,(2)} \end{array} \right.$(ĐKXĐ: $x \neq 2;y \neq - 1$)

Từ (2) ta có: $\dfrac{x^{2}}{x - 2} + \dfrac{2y^{2}}{y + 1} = 1$

Đặt $a = \dfrac{x^{2}}{x - 2};b = \dfrac{y^{2}}{y + 1}$. Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {a - b = 13} \\ {a + 2b = 1} \end{array} \right.$

2) Gọi chiều rộng bể chứa nước là $x\left( {m,x > 0} \right)$

Suy ra chiều dài bể nước là $2x(m)$

Thể tích bể là $V = x.2x.h = 45\left( m^{3} \right)$

Suy ra $2x^{2}.h = 45$ nên $h = \dfrac{45}{2x^{2}}$

Từ đó tính chi phí thuê công nhân xây bể.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm.

Giải chi tiết

Từ (2) ta có: $\dfrac{4}{x - 2} + x + \dfrac{2}{y + 1} + 2y = 1$

$\dfrac{x^{2} - 2x + 4}{x - 2} + \dfrac{2y^{2} + 2y + 2}{y + 1} = 1$

$\dfrac{x^{2}}{x - 2} - 2 + \dfrac{2y^{2}}{y + 1} + 2 = 1$

$\dfrac{x^{2}}{x - 2} + \dfrac{2y^{2}}{y + 1} = 1$

Đặt $a = \dfrac{x^{2}}{x - 2};b = \dfrac{y^{2}}{y + 1}$. Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {a - b = 13} \\ {a + 2b = 1} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {3b = - 12} \\ {a - b = 13} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {b = - 4} \\ {a = 9} \end{array} \right.$

Với $a = 9$ thì $\dfrac{x^{2}}{x - 2} = 9$nên $x^{2} = 9\left( {x - 2} \right)$

$x^{2} - 9x + 18 = 0$

$x^{2} - 3x - 6x + 18 = 0$

$\left( {x - 3} \right)\left( {x - 6} \right) = 0$

$x = 3$ (tm); $x = 6$(tm)

Với $b = - 4$ thì $\dfrac{y^{2}}{y + 1} = - 4$nên $y^{2} = - 4\left( {y + 1} \right)$

$y^{2} + 4y + 4 = 0$

$\left( {y + 2} \right)^{2} = 0$

$y = - 2$(tm)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)$ và $\left( {x;y} \right) = \left( {6; - 2} \right)$

2) Gọi chiều rộng bể chứa nước là $x\left( {m,x > 0} \right)$

Suy ra chiều dài bể nước là $2x(m)$

Thể tích bể là $V = x.2x.h = 45\left( m^{3} \right)$

Suy ra $2x^{2}.h = 45$ nên $h = \dfrac{45}{2x^{2}}$

Diện tích thành bể là: $S_{1} = 2\left( {x + 2x} \right)\dfrac{45}{2x^{2}} = \dfrac{135}{x}\left( {cm^{2}} \right)$

Diện tích đáy bể là: $S_{2} = x.2x = 2x^{2}\left( {cm^{2}} \right)$

Chi phí thuê công nhân xây bể là: $\dfrac{135}{x}.0,24 + 2x^{2}.0,3 = \dfrac{32,4}{x} + 0,6x^{2}$(triệu đồng)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta được:

$\dfrac{32,4}{x} + 0,6x^{2} = \dfrac{16,2}{x} + \dfrac{16,2}{x} + 0,6x^{2} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{16,2}{x}.\dfrac{16,2}{x}.0,6x^{2}} = 16,2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{16,2}{x} = 0,6x^{2}$ hay $x^{3} = 27$ hay $x = 3$(tm)

Vậy chi phí thuê công nhân nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước là 16,2 triệu đồng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link