Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ $\left( {\angle BAC < 90^{o}} \right)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ $\left( {\angle BAC < 90^{o}} \right)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại điểm $A$, điểm $B$ cắt nhau tại điểm $M$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Hai đường thẳng $MO$ và $AB$ cắt nhau tại $P$.
a) Chứng minh bốn điểm $A,P,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$. Chứng ming rằng $BM.BN = CA.BK$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta OAN$ vuông tại N và $\Delta OAP$ vuông tại P.
Vậy O, A, P, N cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b) Chứng minh $\Delta CNB \sim \Delta AKB\left( {c.g.c} \right)$ suy ra $\dfrac{NB}{KB} = \dfrac{CN}{AK}$
Mà $\dfrac{CA}{BM} = \dfrac{2NC}{AM} = \dfrac{2NC}{2AK} = \dfrac{NC}{AK}$ nên $\dfrac{NB}{KB} = \dfrac{CA}{BM}$ hay $BM \cdot BN = CA \cdot BK$ (đpcm)
a) Ta có $OA = OC$ nên $\Delta OAC$ cân tại O có trung tuyến ON nên ON đồng thời là đường cao
Khi đó $\Delta OAN$ vuông tại N hay O, N, A cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Ta có $OA = OB$ (cùng bằng bán kính của (O)) và $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra $MO$ là trung trực cảu AB hay $OM\bot AB$ tại P
Khi đó $\Delta OAP$ vuông tại P nên O, A, P cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Vậy O, A, P, N cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b) Do $\Delta OAB$ cân tại O nên $\angle ABO = \dfrac{180^{0} - \angle AOB}{2} = 90^{0} - \dfrac{\angle AOB}{2} = 90^{0} - \angle ACB$ (gõ nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)
Nên $\angle MBA = 90^{0} - \angle ABO = \angle ACB$
Suy ra $\Delta ABC \sim \Delta MBA\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{MA} = \dfrac{2NC}{2AK} = \dfrac{NC}{AK}$
Xét $\Delta CNB$ và $\Delta AKB$ có $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{NC}{AK}$ và $\angle KAB = \angle NCB$ (cmt)
Nên $\Delta CNB \sim \Delta AKB\left( {c.g.c} \right)$ suy ra $\dfrac{NB}{KB} = \dfrac{CN}{AK}$
Mà $\dfrac{CA}{BM} = \dfrac{2NC}{AM} = \dfrac{2NC}{2AK} = \dfrac{NC}{AK}$ nên $\dfrac{NB}{KB} = \dfrac{CA}{BM}$ hay $BM \cdot BN = CA \cdot BK$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
