Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC

Câu hỏi số 795629:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm C, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh AD.MC = AC.BD.

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF; I là giao điểm của AM và BC; K là trung điểm của BC. Chứng minh: K là trung điểm của HM và PI song song với HK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795629

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta HDC$ vuông tại D và $\Delta HEC$ vuông tại E.

Vậy H, D, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Chứng minh $\Delta ABD \sim \Delta AMC\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{MC}$ hay $AD.MC = AC.BD$

c) Chứng minh $BHCM$ là hình bình hành

Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điểm của HM

Do $\Delta ABD \sim \Delta AMC\left( {cmt} \right)$ nên $\angle BAD = \angle CAM$.

Kết hợp với $\angle AFE = \angle ACB$ (cùng cộng với $\angle BFE$ bằng 180⁰)

Suy ra $\Delta AFP \sim \Delta ACI\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{AP}{AI} = \dfrac{AF}{AC}$

Tương tự $\Delta AFH \sim \Delta ACM\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AH}{AM}$

Suy ra $\dfrac{AP}{AI} = \dfrac{AH}{AM}$ hay $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{AI}{AM}$

Suy ra $PI \parallel HM$ (đpcm)

Giải chi tiết

a) Ta có $AD\bot BC$ tại D nên $\Delta HDC$ vuông tại D. Suy ra H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

Tương tự $\Delta HEC$ vuông tại E nên H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

Vậy H, D, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Ta có $\angle ACM = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\angle ACM = \angle ADB$

Lại có $\angle ABD = \angle AMC$ (cùng chắn cung AC) nên suy ra $\Delta ABD \sim \Delta AMC\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{MC}$ hay $AD.MC = AC.BD$

c) Do $\angle ACM = 90^{0}$ nên $MC\bot AC$. Mà $BE\bot AC$ nên $MC \parallel BE$

Tương tự $\angle ABM = 90^{0}$ nên $MB\bot AB$. Mà $CF\bot AB$ nên $CF \parallel MB$

Suy ra $BHCM$ là hình bình hành