Cho tam giác $ABC\,\,(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ ($D$ thuộc
Cho tam giác $ABC\,\,(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ ($D$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $AB$) của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.
1) Chứng minh bốn điểm $A,D,H,E$ cùng thuộc một đường tròn.
2) Tia $BD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$ ($M$ khác $B$). Gọi $K$ là trung điểm của $BC$. Chứng ming tam giác $MHC$ cân và $AH = 2OK$.
3) Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Chứng minh $BN.CF = CN.BF$.
Quảng cáo
1) Chứng minh $\Delta AHD$ vuông tại D và $\Delta AEH$ vuông tại E.
Vậy A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
2) Chứng minh $HBIC$ là hình bình hành. Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điển của HI
Xét $\Delta AHI$ có K là trung điểm của HI và O là trung điểm của AI nên OK là đường trung bình của tam giác AHI
Suy ra $AH = 2OK$
3) Chứng minh $BD$ là phân giác của góc $EDF$
Suy ra $\dfrac{BN}{BF} = \dfrac{DN}{DF}$ (tính chất đường phân giác) (1)
Kẻ tia Dx là tia đối của tia DN.
Chứng minh $\dfrac{DN}{DF} = \dfrac{CN}{CF}$ (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{BN}{BF} = \dfrac{CN}{CF}$ hay $BN.CF = BF.CN$ (đpcm)
1) Ta có $BD\bot AC$ nên $\Delta AHD$ vuông tại D.
Suy ra A, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
$CE\bot AB$ nên $\Delta AEH$ vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Vậy A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
2) Ta có $\angle BMC = \angle BAC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Do $\Delta BDC$ vuông tại D và $\Delta BEC$ vuông tại E nên B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Khi đó $\angle ECD = \angle EBD$ (góc nội tiếp chắn cung ED).
Mà $\angle EBD = \angle DCM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Suy ra $\angle ECD = \angle DCM$ hay CD là phân giác của góc HCM
Mà $CD\bot HM$ tại D nên CD đồng thời là đường cao của tam giác HCM
Vậy tam giác CHM cân tại C.
Kẻ đường kính AI của (O). Khi đó $\angle ACI = \angle ABI = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra $CI\bot AC$ và $BI\bot AB$
Ta có $CI\bot AC$ và $BD\bot AC$ nên $CI \parallel BD$. Tương tự $BI \parallel CH$ (cùng vuông góc với AB)
Suy ra $HBIC$ là hình bình hành. Mà K là trung điểm của BC nên K là trung điển của HI
Xét $\Delta AHI$ có K là trung điểm của HI và O là trung điểm của AI nên OK là đường trung bình của tam giác AHI
Suy ra $AH = 2OK$
3) Do $\Delta HFC$ vuông tại F và $\Delta HDC$ vuông tại D nên H, F, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Suy ra $\angle ECB = \angle FDH$ (cùng chắn cung HF)
Mà $\angle EDB = \angle ECB$ (cùng chắn cung BE) nên $\angle EDB = \angle FDH$
Suy ra $BD$ là phân giác của góc $EDF$
Suy ra $\dfrac{BN}{BF} = \dfrac{DN}{DF}$ (tính chất đường phân giác) (1)
Kẻ tia Dx là tia đối của tia DN.
Khi đó ta có $\angle FDH + \angle FDC = 90^{0}$ và $\angle CDx + \angle EDB = 180^{0} - \angle BDC = 90^{0}$
Mà $\angle EDB = \angle FDH$ nên $\angle FDC = \angle CDx$ hay $DC$ là phân giác ngoài của $\Delta NDF$
Suy ra $\dfrac{DN}{DF} = \dfrac{CN}{CF}$ (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{BN}{BF} = \dfrac{CN}{CF}$ hay $BN.CF = BF.CN$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
