Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD và BE
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Kẻ đường kính AK của đường (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng.
c. Gọi F là trung điểm A H, I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC. Chứng minh EF là tiếp tuyến của (I).
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta ADB$ vuông tại $D$ và $\Delta ABE$ vuông tại $E$
Vậy $A,B,D,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$
b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AKC$ có
$\angle ABD = \angle AKC$ (cùng chắn cung $AC$)
$\angle ADB = \angle ACK = 90{^\circ}$
Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta AKC\,\,\left( {g.g} \right)$
c) Chứng minh $\angle FEH + \angle IEB = 90{^\circ}$
Hay $\angle FEI = 90{^\circ}$
Vậy $EF$ là tiếp tuyến của $(I)$
a) Ta có $\Delta ADB$ vuông tại $D$ (do $AD$ là đường cao)
Do đó $A,\,\, D,\,\, B$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ (1)
$\Delta ABE$ vuông tại $E$ (do $BE$ là đường cao)
Do đó $A,\,\, B,\,\, E$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $A,B,D,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$
Vậy $A,B,D,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$
b) Vì $AK$ là đường kính của $(O)$ nên $\angle ACK = 90{^\circ}$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AKC$ có
$\angle ABD = \angle AKC$ (cùng chắn cung $AC$)
$\angle ADB = \angle ACK = 90{^\circ}$
Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta AKC\,\,\left( {g.g} \right)$
c) $\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên $B,E,C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Do đó $IE = IB$
Suy ra $\Delta IEB$ cân tại $I$. Khi đó $\angle IEB = \angle IBE$ (3)
$\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên $A,\, H,\,\, E$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$. Do đó $FE = FH$
Suy ra $\Delta FEH$ cân tại $F$. Khi đó $\angle FHE = \angle FEH$ (4)
Mặt khác $\angle BHD + \angle HBD = 90{^\circ},\,\,\angle BHD = \angle FHE$ (2 góc đối đỉnh) (5)
Từ (3), (4) và (5) ta suy ra $\angle FEH + \angle IEB = 90{^\circ}$
Hay $\angle FEI = 90{^\circ}$
Vậy $EF$ là tiếp tuyến của $(I)$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
