Cho đường tròn $(O)$, bán kính $R(R > 0)$ và dây cung $BC = R\sqrt{3}$. Lấy một điểm A bất kì

Câu hỏi số 796745:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$, bán kính $R(R > 0)$ và dây cung $BC = R\sqrt{3}$. Lấy một điểm A bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn $(O)$ và OI vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HM.

c) Khi $DH.{\mkern 1mu} DA$ lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác ABC theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:796745

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta HDC$ vuông tại D và $\Delta HEC$ vuông tại E nên $\text{H},\text{D},\text{E},\text{C}$ cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Chứng minh BHCM là hình bình hành, từ đó suy ra I là trung điểm của HM.

c) Chứng minh $\left. \Delta DHB \right.\sim\Delta DCA(g \cdot g)$ suy ra $DH \cdot DA = DB \cdot DC$. Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của $DH.{\mkern 1mu} DA$.

Giải chi tiết

a) Do AD, BE là đường cao nên $\Delta HDC$ vuông tại D và $\Delta HEC$ vuông tại E

$\Delta HDC$ vuông tại D nên H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC

$\Delta HEC$ vuông tại E nên H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Suy ra H, D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC hay DHEC nội tiếp đường tròn.

b) Ta có $\angle ACM = \angle ABM = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CM \parallel BE$ (cùng vuông góc với AC) và $BM \parallel CH$ (do cùng vuông góc với AB)

Suy ra $BHCM$ là hình bình hành (đhnb)

Ta có $OB = OC$ (cùng bằng bán kính) nên $\Delta OBC$ cân tại O

Mà OI là đường cao nên OI đồng thời là trung tuyến hay I là trung điểm của BC

Suy ra I là trung điểm của HM (tính chất hình bình hành)

c) Ta có $\angle BHD = \angle AHE$ (2 góc đối đỉnh)

$\angle AHE = \angle DCA$ (cùng cộng với $\angle DHE$ bằng $180^{0}$)

Suy ra $\angle BHD = \angle DCA$

Xét $\Delta DHB$ và $\Delta DAC$ có $\angle HDB = \angle ADC = 90^{0}$ và $\angle BHD = \angle DCA$

Suy ra $\Delta DHB \sim \Delta DCA\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{DH}{DC} = \dfrac{DB}{DA}$ hay $DH.DA = DB.DC$

Ta có $\left( {DB - DC} \right)^{2} \geq 0$ nên $DB^{2} + 2DB.DC + DC^{2} \geq 4DB.DC$

Hay $\left( {DB + DC} \right)^{2} \geq 4DB.DC$

Suy ra $DB.DC \leq \dfrac{\left( {DB + DC} \right)^{2}}{4} = \dfrac{BC^{2}}{4} = \dfrac{3R^{2}}{4}$ không đổi

Nên $DH.DA$ lớn nhất bằng $\dfrac{3R^{2}}{4}$ khi $DB = DC$ tức là D là trung điểm của BC

Suy ra $D \equiv I$. Khi đó $OD = \sqrt{OB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{R^{2} - \left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{R}{2}$

Suy ra $AD = OA + OD = R + \dfrac{R}{2} = \dfrac{3}{2}R$

Vậy diện tích tam giác ABC là $S = \dfrac{1}{2}AD.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R.R\sqrt{3} = \dfrac{3\sqrt{3}R^{2}}{4}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link