a) Cho các số thực x, y, z thay đổi và thoả mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz = 4$.Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 796746:

Vận dụng

a) Cho các số thực x, y, z thay đổi và thoả mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz = 4$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3x^{2} + y^{2} + z^{2}$.

b) Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 21 cm, bạn Nga cắt được một hình có dạng như hình vẽ (phần tô đậm và được bao quanh bởi đường liền nét). Biết rằng hình tròn diện tích $113,04~\text{cm}^{2}$ và có tâm trùng với tâm của hình vuông. Các điểm E, F là giao điểm của hai đường chéo hình vuông với đường tròn. Tính tổng độ dài đường viền của hình thu được (lấy $\pi \approx 3,14$và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A diagram of a circle with a circle and a circle with a circle and a circle with a circle and a circle with a circle and a circle with a circle and a circle with a circle and

AI-generated content may be incorrect.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:796746

Phương pháp giải

a) Coi $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz = 4$ là phương trình ẩn y, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Xét từng trường hợp để tìm giá trị nhỏ nhất của F.

b) Tổng độ dài phần đường viền = Độ dài cung lớn EF + 2. AE + AB

Giải chi tiết

a) Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz = 4$

$y^{2} - xz.y + x^{2} + z^{2} - 4 = 0$

Có $\Delta_{y} = x^{2}z^{2} - 4\left( {x^{2} + z^{2}} \right) + 16 = x^{2}z^{2} - 4x^{2} - 4z^{2} + 16 = \left( {x^{2} - 4} \right)\left( {z^{2} - 4} \right)$

Để phương trình có nghiệm y thì $\Delta_{y} \geq 0$

TH1: Nếu $x^{2} - 4 = 0$ thì $F = 3.4 + y^{2} + z^{2} \geq 12$ với mọi y, z

Nếu $z^{2} - 4 = 0$ thì $F = 3x^{2} + z^{2} + 4 \geq 4$ với mọi y,z

TH2: Nếu $x^{2} - 4 > 0$ và $z^{2} - 4 > 0$ thì $F = 3x^{2} + y^{2} + z^{2} > 3.4 + 4 + y^{2} \geq 16$ với mọi y

TH3: Nếu $x^{2} - 4 < 0$ và $z^{2} - 4 < 0$ thì $- 2 < x < 2$ và $- 2 < z < 2$ hay $x + 2 > 0$

Khi đó

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xyz = 4$

$\begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2yz = 4 + 2yz + xyz} \\ {x^{2} + \left( {y + z} \right)^{2} = 4 + \left( {x + 2} \right)yz} \end{array}$

Vì $\left( {y + z} \right)^{2} \geq 0,\,\,\forall y,z \in {\mathbb{R}}$ nên $4 + \left( {x + 2} \right)yz \geq x^{2}$ hay $\left( {x + 2} \right)yz \geq x^{2} - 4$

Do đó $yz \geq x - 2$ (do $x + 2 > 0$)

Khi đó $F = 3x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2x^{2} + xyz + 4 \geq 2x^{2} + x\left( {x - 2} \right) + 4$

$= 3x^{2} - 2x + 4 = 3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^{2} + \dfrac{11}{3}$

Vì $3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^{2} \geq 0,\,\,\forall x > 0$ nên $3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^{2} + \dfrac{11}{3} \geq \dfrac{11}{3},\forall x > 0$

Vì $\dfrac{11}{3}$ là giá trị nhỏ nhất trong các trường hợp trên nên F đạt GTNN bằng $\dfrac{11}{3}$

Dấu $" = "$ xảy ra chẳng hạn khi $x = \dfrac{1}{3},\,\, y = - \dfrac{\sqrt{15}}{3},\,\, z = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$

b) Bán kính của hình tròn là $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{113,04}{3,14}} = 6\left( {cm} \right)$

Chu vi của đường tròn là $C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\left( {cm} \right)$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\angle EOF = 90{^\circ}$

Độ dài cung nhỏ $EF$ là $l = \dfrac{\pi Rn}{180} = \dfrac{\pi.6.90}{180} = 9,42\left( {cm} \right)$

$\Delta OAB$ vuông cân tại $O$ nên $OA = \dfrac{AB}{\sqrt{2}} = \dfrac{21}{\sqrt{2}}\left( {cm} \right)$

Do đó $AE = OA - OE = \dfrac{21}{\sqrt{2}} - 6\left( {cm} \right)$

Vậy tổng độ dài phần đường viền là $37,68 - 9,42 + 21 + 2.\left( {\dfrac{21}{\sqrt{2}} - 6} \right) \approx 66,96\left( {cm} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link