Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $PB$ và $PC$

Câu hỏi số 796839:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $PB$ và $PC$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm)

1) Chứng minh bốn điểm $O,B,P,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Biết $OP$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh $OH\bot BC$ và $OB^{2} = OP.OH$.

3) Kẻ đường kính $BA$, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $PA$ tại $I$. Tia $PA$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ (khác $A$), tia $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ (khác $M$). Chứng minh $K,I,C$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:796839

Phương pháp giải

1) Chứng minh tam giác OBP vuông tại B và tam giác OCP vuông tại C.

Suy ra bốn điểm O, B, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

2) Chứng minh $\Delta OHB \sim \Delta OBP$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{OH}{OB} = \dfrac{OB}{OP}$

Vậy $OB^{2} = OP.OH$ (đpcm)

3) Chứng minh $\angle CIT = \angle OIK$

Mà $\angle CIT + \angle CIO = 180^{0}$ nên $\angle CIO + \angle OIK = 180^{0}$ hay C, I, K thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Vì PB là tiếp tuyến của (O) nên $PB\bot OB$ tại B hay $\angle OBP = 90{^\circ}$

Tam giác OBP vuông tại B nên O, B, P thuộc đường tròn đường kính OP

Vì PC là tiếp tuyến của (O) nên $PC\bot OC$ tại C hay $\angle OCP = 90{^\circ}$

Tam giác OCP vuông tại C nên O, C, P thuộc đường tròn đường kính OP

Suy ra bốn điểm O, B, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

2) Vì PB và PC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của (O) nên ta có $PB = PC$

Suy ra P thuộc đường trung trực của BC

Mà $OB = OC$ nên O thuộc đường trung trực của BC

Suy ra OP là đường trung trực của BC

Do đó $OP\bot BC$ tại H hay $OH\bot BC$

Xét $\Delta OHB$và $\Delta OBP$ có:

Góc O chung

$\angle OHB = \angle OBP = 90{^\circ}$

Suy ra $\Delta OHB \sim \Delta OBP$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{OH}{OB} = \dfrac{OB}{OP}$

Vậy $OB^{2} = OP.OH$ (đpcm)

3) Xét $\Delta OPI$ và $\Delta OIH$ có $\angle POT$ chung và $\angle OHT = \angle OIP = 90^{0}$

Suy ra $\Delta OPI \sim \Delta OTH\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{OP}{OT} = \dfrac{OI}{OH}$ hay $OP.OH = OI.OT$

Suy ra $OI.OT = OB^{2}$ nên $\dfrac{OI}{OB} = \dfrac{OB}{OT}$

Kết hợp với $\angle BOT$ chung nên suy ra $\Delta OBT \sim \Delta OIB\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\angle OIB = \angle OBT$ (1)

Ta có $\Delta OMA = \Delta OKB\left( {g.c.g} \right)$ nên $\angle KMA = \angle MKB$ suy ra $MA \parallel KB$

Lại có $OI\bot AM$, $\Delta OAM$ cân nên OI là trung trực đồng thời là phân giác của AM

Suy ra $\angle IOM = \angle IOA$ suy ra $\angle IOB = \angle IOK$ (cùng cộng với 2 góc đối đỉnh bằng nhau)

Khi đó $\Delta OIB = \Delta OIK\left( {c.g.c} \right)$ suy ra $\angle OIB = \angle OIK$ (2)

Do $\Delta OIP$ vuông tại I và $\Delta OPC$ vuông tại C nên O, I, C, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP

Suy ra $\angle CIT = \angle CPO$ (cùng cộng với $\angle OIC$ bằng 180⁰)

Mà $\angle CPO = \angle OBT$ (cùng chắn cung OC)

Suy ra $\angle CIT = \angle CBT$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\angle CIT = \angle OIK$

Mà $\angle CIT + \angle CIO = 180^{0}$ nên $\angle CIO + \angle OIK = 180^{0}$ hay C, I, K thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link