Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) với OA = 2R, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường

Câu hỏi số 797107:

Vận dụng

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) với OA = 2R, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Gọi E là giao điểm thứ hai của dường thẳng AD với (O). Đường thẳng BC và AO cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác BED vuông và ABHE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $OD^{2} = OH.OA$ và $\angle HDO = \angle HBE$.

c) Tính theo R chu vi và diện tích tam giác DHE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:797107

Phương pháp giải

a) Chứng minh $A,\,\, E,\,\, H,\,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$

Vậy tứ giác $ABHE$ nội tiếp

b) Chứng minh $\Delta OBH$~$\Delta OAB$ (g.g) ; $\Delta ODH \backsim \Delta OAD\,\,\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\angle HDO = \angle HAD$

Mà $\angle HAD = \angle HBE$ ($ABHE$ nội tiếp) nên $\angle HDO = \angle HBE$

c) Chứng minh $\Delta ABE \backsim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right)$; $\Delta AHE \backsim \Delta ADO\,\,\left( {g.g} \right)$

Do đó $\dfrac{HE}{DO} = \dfrac{AH}{AD}$ hay $HE = \dfrac{AH.DO}{AD}$

Vì $\Delta ODH \backsim \Delta OAD$ nên $\dfrac{DH}{AD} = \dfrac{OD}{OA}$ hay $DH = \dfrac{OD.DA}{OA}$

Vì $\left. \Delta DBE \right.\sim\Delta DAB\,\,(g.g)$ nên $DE.DA = DB^{2}$ hay $DE = \dfrac{DB^{2}}{DA}$

Chu vi tam giác $HED$ là $HE + HD + DE$

$S_{DHE} = S_{AOD} - S_{AHE} - S_{OHD}$

Giải chi tiết

a) Vì tam giác $BED$ nội tiếp đường tròn đường kính $BD$ nên tam giác $BED$ vuông tại $E$

Khi đó $\angle AEB = 90{^\circ}$

Do đó tam giác $ABE$ vuông tại $E$

Suy ra $A,\,\, B,\,\, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ (1)

Ta có: $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OB = OC$ (bán kính)

Suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$ tại trung điểm H của $BC$

Do đó $\Delta AHB$ vuông tại $H$

Nên $A,\,\, H,\,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $A,\,\, E,\,\, H,\,\, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$

Vậy tứ giác $ABHE$ nội tiếp

b) Xét $\Delta OBH$ và $\Delta OAB$ có:

$\angle BOA$ chung

$\angle OHB = \angle OBA = 90^{0}$

Suy ra $\Delta OBH$~$\Delta OAB$ (g.g) nên $\dfrac{OB}{OA} = \dfrac{OH}{OB}$ hay $OB^{2} = OH.OA$

mà $OD = OB$ nên $OD^{2} = OH.OA$

Suy ra $\dfrac{OD}{OH} = \dfrac{OA}{OD}$

Mà $\angle AOD\,\, chung$ nên $\Delta ODH \backsim \Delta OAD\,\,\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\angle HDO = \angle HAD$

Mà $\angle HAD = \angle HBE$ ($ABHE$ nội tiếp) nên $\angle HDO = \angle HBE$

c) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABO$ vuông tại $B$ ta có

$AB = \sqrt{AO^{2} - OB^{2}} = \sqrt{4R^{2} - R^{2}} = R\sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $B$ ta có

$AD = \sqrt{AB^{2} + BD^{2}} = \sqrt{3R^{2} + 4R^{2}} = R\sqrt{7}$

Ta có $\left. \Delta ABH \right.\sim\Delta AOB\,\,(g.g)$ nên $AH.AO = AB^{2}$

Suy ra $AH = \dfrac{AB^{2}}{AO} = \dfrac{3R^{2}}{2R} = \dfrac{3R}{2}$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB$ có

$\begin{array}{l} {\angle AEB = \angle ABD = 90{^\circ}} \\ {\angle BAD\,\, chung} \end{array}$

Suy ra $\Delta ABE \backsim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right)$

Do đó $\angle ABE = \angle ADB$

Mà $\angle ABE = \angle AHE$ nên $\angle AHE = \angle ADB$

Mặt khác $\angle HAE$ chung

Suy ra $\Delta AHE \backsim \Delta ADO\,\,\left( {g.g} \right)$

Do đó $\dfrac{HE}{DO} = \dfrac{AH}{AD}$ hay $HE = \dfrac{AH.DO}{AD} = \dfrac{\dfrac{3R}{2}.R}{R\sqrt{7}} = \dfrac{3R\sqrt{7}}{14}$

Vì $\Delta ODH \backsim \Delta OAD$ nên $\dfrac{DH}{AD} = \dfrac{OD}{OA}$ hay $DH = \dfrac{OD.DA}{OA} = \dfrac{R.R\sqrt{7}}{2R} = \dfrac{R\sqrt{7}}{2}$

Vì $\left. \Delta DBE \right.\sim\Delta DAB\,\,(g.g)$ nên $DE.DA = DB^{2}$ hay $DE = \dfrac{DB^{2}}{DA} = \dfrac{4R^{2}}{R\sqrt{7}} = \dfrac{4R\sqrt{7}}{7}$

Chu vi tam giác $HED$ là $HE + HD + DE = \dfrac{3R\sqrt{7}}{14} + \dfrac{R\sqrt{7}}{2} + \dfrac{4R\sqrt{7}}{7} = \dfrac{9R\sqrt{7}}{7}$

Ta có: $S_{ABD} = \dfrac{1}{2}AB.BD = \dfrac{1}{2}.R\sqrt{3}.2R = R^{2}\sqrt{3},\, S_{AOD} = \dfrac{1}{2}S_{ABD} = \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vì $\Delta AHE \backsim \Delta ADO$ nên $\dfrac{S_{AHE}}{S_{ADO}} = \left( \dfrac{AH}{AD} \right)^{2} = \left( \dfrac{\dfrac{3R}{2}}{R\sqrt{7}} \right)^{2} = \dfrac{9}{28}$

$\Delta ODH \backsim \Delta OAD$ nên $\dfrac{S_{ODH}}{S_{OAD}} = \left( \dfrac{OD}{OA} \right)^{2} = \left( \dfrac{R}{2R} \right)^{2} = \dfrac{1}{4}$

Khi đó

$S_{DHE} = S_{AOD} - S_{AHE} - S_{OHD}$

$= S_{AOD} - \dfrac{9}{28}S_{AOD} - \dfrac{1}{4}S_{AOD} = \dfrac{3}{7}S_{AOD} = \dfrac{3}{7}.\dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3R^{2}\sqrt{3}}{14}$

Vậy chu vi, diện tích tam giác $DEH$ lần lượt là $\dfrac{9R\sqrt{7}}{7},\,\,\dfrac{3R^{2}\sqrt{3}}{14}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link