Từ vị trí A của một công viên có dạng hình vuông ABCD cạnh a (km), hai bạn Hòa và Bình bắt

Câu hỏi số 797106:

Vận dụng

Từ vị trí A của một công viên có dạng hình vuông ABCD cạnh a (km), hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vận tốc không đổi dọc theo các cạnh của hình vuông và theo hai hướng khác nhau. Biết rằng, hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí E cách A một khoảng bằng 1km và gặp lại nhau lần thứ hai tại vị trí F cách A một khoảng bằng 0,4km như hình vẽ. Gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của Hòa và Bình.

a) Chứng minh rằng $\dfrac{x}{y} = \dfrac{AB + BC + CE}{AD + DE}$.

b) Tìm giá trị của $a$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:797106

Phương pháp giải

a) Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quãng đường đi của Hoà và Bình tỉ lệ thuận với vận tốc đi tương ứng của hai bạn.

b) Ta xác định phương trình.

Do $a > 0$ nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Giải chi tiết

a) Ta có $\Delta ADE$ vuông tại D nên $DE = \sqrt{AE^{2} - AD^{2}} = \sqrt{1 - a^{2}}$ và

$CE = DC - DE = a - \sqrt{1 - a^{2}}$

Tại lần gặp nhau đầu tiên bạn Bình đi được quãng đường là $AD + DE = a + \sqrt{1 - a^{2}}$

Hoà đi được quãng đường là $AB + BC + EC = a + a + a - \sqrt{1 - a^{2}} = 3a - \sqrt{1 - a^{2}}$

Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quãng đường đi của Hoà và Bình tỉ lệ thuận với vận tốc đi tương ứng của hai bạn.

Khi đó $\dfrac{x}{y} = \dfrac{AB + BC + CE}{AD + DE} = \dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}}}{a + \sqrt{1 - a^{2}}}$

b) Tại lần gặp thứ hai ở F thì Bình đi quãng đường là

$AD + DC + BC + BF = 4a - 0,4$

Hoà đi quãng đường là $AB + BC + CD + DA + AF = 4a + 0,4$

Khi đó $\dfrac{x}{y} = \dfrac{4a + 0,4}{4a - 0,4}$

Khi đó ta có phương trình $\dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}}}{a + \sqrt{1 - a^{2}}} = \dfrac{4a + 0,4}{4a - 0,4}$

Suy ra $\dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}}}{4a + 0,4} = \dfrac{a + \sqrt{1 - a^{2}}}{4a - 0,4}$

Do $a > 0$ nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}}}{4a + 0,4} = \dfrac{a + \sqrt{1 - a^{2}}}{4a - 0,4} = \dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}} + a + \sqrt{1 - a^{2}}}{4a + 0,4 + 4a - 0,4} = \dfrac{4a}{8a} = \dfrac{1}{2}$

Suy ra $\dfrac{3a - \sqrt{1 - a^{2}}}{4a + 0,4} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l} {2\left( {3a - \sqrt{1 - a^{2}}} \right) = 4a + 0,4} \\ {6a - 2\sqrt{1 - a^{2}} = 4a + 0,4} \\ {2a - 0,4 = 2\sqrt{1 - a^{2}}} \\ {\sqrt{1 - a^{2}} = a - 0,2} \end{array}$

Suy ra $1 - a^{2} = \left( {a - 0,2} \right)^{2}$ (với $a > 0,2$)

$\begin{array}{l} {1 - a^{2} = a^{2} - 0,4a + 0,04} \\ {2a^{2} - 0,4a - 0,96 = 0} \end{array}$

Giải phương trình ta được $a = 0,8$ (thoả mãn) hoặc $a = - 0,6$ (không thoả mãn)

Vậy $a = 0,8$ km

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link