a) Giải phương trình $x^{2} = \left( {2x - 9} \right)\left( {\sqrt{x^{2} + 2x - 8} - 2} \right)$.b) Giải hệ

Câu hỏi số 798333:

Vận dụng

a) Giải phương trình $x^{2} = \left( {2x - 9} \right)\left( {\sqrt{x^{2} + 2x - 8} - 2} \right)$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2}\left( {x - y} \right) + {(y - 1)}^{2} = 0} \\ {4x^{3} - 9x^{2} + 7x + 3y^{2} - 10y + 5 = 0} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798333

Phương pháp giải

a) Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 2x - 8}$ thì được $\left. t^{2} - \left( {2x - 9} \right)t + 2x - 10 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 1} \\ {t = 2x - 10.\ } \end{array} \right. \right.$

b) Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} {x^{2}\left( {x - y} \right) + {(y - 1)}^{2} = 0} \\ {4x^{3} - 9x^{2} + 7x + 3y^{2} - 10y + 5 = 0} \end{matrix} \right.\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Ta có $\left. (1)\Leftrightarrow y^{2} - \left( {x^{2} + 2} \right)y + x^{3} + 1 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {y = x + 1} \\ {y = x^{2} - x + 1.} \end{matrix} \right. \right.$

Giải chi tiết

a) Điều kiện xác định $x^{2} + 2x - 8 \geq 0$.

Phương trình được viết lại là $x^{2} + 2x - 8 - \left( {2x - 9} \right)\sqrt{x^{2} + 2x - 8} + \left( {2x - 10} \right) = 0$.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 2x - 8}$ thì được $\left. t^{2} - \left( {2x - 9} \right)t + 2x - 10 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 1} \\ {t = 2x - 10.\ } \end{array} \right. \right.$

+ Với $t = 1$ thì $\left. \sqrt{x^{2} + 2x - 8} = 1\Leftrightarrow x^{2} + 2x - 9 = 0\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt{10} \right.$.

+ Với $t = 2x - 10$ thì $\left. \sqrt{x^{2} + 2x - 8} = 2x - 10\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x - 10 \geq 0} \\ {x^{2} + 2x - 8 = {(2x - 10)}^{2}} \end{array} \right. \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 5} \\ {x^{2} - 14x + 36 = 0} \end{array}\Leftrightarrow x = 7 + \sqrt{13} \right. \right.$.

Vậy phương trình cho có tập nghiệm là $S = \left\{ {7 + \sqrt{13}; - 1 \pm \sqrt{10}} \right\}$.

Ta có $\left. (1)\Leftrightarrow y^{2} - \left( {x^{2} + 2} \right)y + x^{3} + 1 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {y = x + 1} \\ {y = x^{2} - x + 1.} \end{matrix} \right. \right.$

Nếu $y = x^{2} - x + 1$, thay vào (2) thu được

$4x^{3} - 9x^{2} + 7x + 3\left( {x^{2} - x + 1} \right)^{2} - 10\left( {x^{2} - x + 1} \right) + 5 = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow 3x^{4} - 2x^{3} - 10x^{2} + 11x - 2 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {3x^{2} - 5x + 1} \right) = 0\Leftrightarrow x \in \left\{ {- 2;1;\dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{6}} \right\} \right.$

Tìm được các nghiệm

$\left( {x;y} \right) = \left( {- 2;7} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{5 + \sqrt{13}}{6};\dfrac{11 + \sqrt{13}}{9}} \right),\left( {\dfrac{5 - \sqrt{13}}{6};\dfrac{11 - \sqrt{13}}{9}} \right).$

Nếu $y = x + 1$, thay vào (2) thu được

$4x^{3} - 9x^{2} + 7x + 3{(x + 1)}^{2} - 10\left( {x + 1} \right) + 7x + 5 = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 2 = 0\Leftrightarrow 8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1 = 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(2x - 1)}^{3} = 3\Leftrightarrow x = \dfrac{1 + \sqrt[3]{3}}{2}. \right.$

Tìm được nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1 + \sqrt[3]{3}}{2};\dfrac{3 + \sqrt[3]{3}}{2}} \right)$.
Vậy hệ cho có đúng 5 bộ nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là

$\left( {- 2;7} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{5 + \sqrt{13}}{6};\dfrac{11 + \sqrt{13}}{9}} \right),\left( {\dfrac{5 - \sqrt{13}}{6};\dfrac{11 - \sqrt{13}}{9}} \right),\left( {\dfrac{1 + \sqrt[3]{3}}{2};\dfrac{3 + \sqrt[3]{3}}{2}} \right).$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link