a) Cho $x,y > 1$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$. Tính giá trị của

Câu hỏi số 798332:

Vận dụng

a) Cho $x,y > 1$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$. Tính giá trị của biểu thức $A = x^{3} + y^{3} + 9xy$.
b) Xét đa thức $P(x) = x^{2} + ax + b$ với $a,b$ là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$ thì $P\left( {1 - \sqrt{2}} \right) = 2024$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798332

Phương pháp giải

a) Từ $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$$\left. \Leftrightarrow\left( {x + y - 3} \right)\left( {xy - 1} \right) = 0\text{~(1)} \right.$

b) Phân tích $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a + 2} \right)\sqrt{2} = 2021 - a - b\text{.~} \right.$

Giải chi tiết

a) Ta có $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$

$\left. \Rightarrow\left( {xy + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow xy\left( {x + y} \right) + 3 = 3xy + x + y\ \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {x + y - 3} \right)\left( {xy - 1} \right) = 0\text{~(1)} \right.$

+) Với $x,y > 1$ thì $xy - 1 > 0\text{,~}$do đó $\left. (1)\Leftrightarrow x + y = 3. \right.$

+) Vậy $A = x^{3} + y^{3} + 9xy = {(x + y)}^{3} - 3xy\left( {x + y} \right) + 9xy$$~ = 3^{3} - 3xy.3 + 9xy = 27.\ $

b) Ta có $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$

$\left. \Leftrightarrow{(1 + \sqrt{2})}^{2} + a\left( {1 + \sqrt{2}} \right) + b = 2024 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a + 2} \right)\sqrt{2} = 2021 - a - b\text{.~} \right.$

Do $a + 2,2021 - a - b$ là các số nguyên trong khi $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên phải xảy ra $\left\{ \begin{array}{l} {a + 2 = 0} \\ {2021 - a - b = 0} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {a = - 2} \\ {b = 2023.} \end{array} \right.$

Vậy $P\left( {1 - \sqrt{2}} \right) = {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 2\left( {1 - \sqrt{2}} \right) + 2023$

$= 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} + 2023 = 2024$, có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link