a) Cho $x,y > 1$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$. Tính giá trị của

Câu hỏi số 798332:

Vận dụng

a) Cho $x,y > 1$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$. Tính giá trị của biểu thức $A = x^{3} + y^{3} + 9xy$.
b) Xét đa thức $P(x) = x^{2} + ax + b$ với $a,b$ là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$ thì $P\left( {1 - \sqrt{2}} \right) = 2024$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798332

Phương pháp giải

a) Từ $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$$\left. \Leftrightarrow\left( {x + y - 3} \right)\left( {xy - 1} \right) = 0\text{~(1)} \right.$

b) Phân tích $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a + 2} \right)\sqrt{2} = 2021 - a - b\text{.~} \right.$

Giải chi tiết

a) Ta có $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{5}{xy + 4}$

$\left. \Rightarrow\left( {xy + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow xy\left( {x + y} \right) + 3 = 3xy + x + y\ \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {x + y - 3} \right)\left( {xy - 1} \right) = 0\text{~(1)} \right.$

+) Với $x,y > 1$ thì $xy - 1 > 0\text{,~}$do đó $\left. (1)\Leftrightarrow x + y = 3. \right.$

+) Vậy $A = x^{3} + y^{3} + 9xy = {(x + y)}^{3} - 3xy\left( {x + y} \right) + 9xy$$~ = 3^{3} - 3xy.3 + 9xy = 27.\ $

b) Ta có $P\left( {1 + \sqrt{2}} \right) = 2024$

$\left. \Leftrightarrow{(1 + \sqrt{2})}^{2} + a\left( {1 + \sqrt{2}} \right) + b = 2024 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a + 2} \right)\sqrt{2} = 2021 - a - b\text{.~} \right.$

Do $a + 2,2021 - a - b$ là các số nguyên trong khi $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên phải xảy ra $\left\{ \begin{array}{l} {a + 2 = 0} \\ {2021 - a - b = 0} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {a = - 2} \\ {b = 2023.} \end{array} \right.$

Vậy $P\left( {1 - \sqrt{2}} \right) = {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 2\left( {1 - \sqrt{2}} \right) + 2023$

$= 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} + 2023 = 2024$, có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link